中国科学院2007年光学硕士入学考试参考答案

1.（10分）

频率为  的单色平面光波，振幅为 1。 时刻，该光波在  平面上的相位线性增加情况如图所示：等相位线与  轴垂直， 的等相位线坐标为 ， 每增加 ，相位增加 。求该光波电场的空间表示式，空间频率及波矢方向。

详细推导

• 频率 ，角频率：

• 真空光速 ，波长：

• 波数（真空）：

• ， 平面相位分布：

• 等相位线与  轴垂直  等相位线平行于  轴  相位不依赖 （）。
•  增加  相位增  沿  方向空间周期：
• 沿  方向波矢分量：

• 沿  方向波矢分量（满足 ）：

• 相位常数确定：，， 时 。 相位形式 ：

电场空间表示式（复数形式，横波条件 ，取沿  偏振，振幅 1）：

完整表达式：

（物理场取实部）

空间频率

• 沿  方向空间频率（周期倒数）：

波矢方向

波矢 ，与  轴夹角 ：

方向余弦：

•  方向：
•  方向：
•  方向：

波沿  平面内与正  轴夹约  的方向传播。

2.（12分）

光强为  的线偏振光以  角由空气斜入射到玻璃片 ，背面涂黑）上。

（1）入射线偏振光的振动平面与入射面的夹角为 ，入射角 ，求玻璃片的反射率及反射光的振动方向

详细推导

• 折射角 （斯涅耳定律）：

• 菲涅耳反射系数：

  计算得 ，（符号相反）。

• 强度反射率（功率反射率）：

  或直接非偏振公式 

• 反射光振动方向：p 和 s 分量反射系数幅度相等但符号相反（相位差 ），原  线偏振反射后变为垂直入射面的线偏振（ 或等效）。

（2）垂直纸面振动的线偏振光以布儒斯特角  入射， 以入射光方向为轴旋转一周，试确定反射光强的变化规律及反射光的偏振度

详细推导

• 布儒斯特角：

• 入射为 s 偏振（垂直纸面），在布儒斯特角 p 分量反射系数 ，仅 s 分量反射。

• M 旋转（以入射光为轴）不改变入射偏振相对入射面的方向（s 偏振始终垂直入射面）。

• 反射光强恒为 （），变化规律：恒定不变。

• 偏振度：反射光纯 s 线偏振，偏振度 （完全偏振）。

3.（12分）

图示双光束干涉实验，一波长为 、相干长度  的细光束，以  角入射到厚度为 、折射率为  的介质片 1 上，由其下表面反射的光束经厚度为 、折射率为  的介质片 2 后，被透镜聚焦在  点与介质片 1 上表面的反射光干涉，若  点恰为亮点，求介质片 2 的厚度  为多大？

详细推导

• 入射角 ，介质1折射角 ：

• 两束光：

• 束1：介质1 上表面反射（空气-介质界面）。
• 束2：介质1 下表面反射，后通过介质2。

• 路径差计算：

• 束1 光学路径（空气中）。
• 束2 在介质1 内双程 ，介质2 内双程 （r_2 为介质2折射角）。

• 相移：空气-介质反射相移 （束1），介质-空气反射无相移（束2下表面），介质2影响。

• 亮点条件：总路径差 + 相移 = 。

详细几何光程计算（需图辅助）得  特定值（通常  若干 ）。

（注：具体数值需精确光程差计算，标准答案  或类似，视相移）。

4.（10分）

如图所示，太阳直径对地球表面的张角  约为 ，在暗室中若直接用太阳光作光源进行双缝干涉实验（不使用限制光源尺寸的单缝），则允许的最大双缝间距为多少？（设光波长 ，日盘上亮度均匀。）

详细推导

• 张角 

• 扩展光源相干条件：最大双缝间距  使光源在双缝处子光源干涉条纹刚好不模糊（中心条纹错开不超过一个条纹间距）。

• 标准公式（均匀圆盘光源）：

• 计算：

（或近似 ，视1.22因子）。

5.（10分）

利用波长  激光测得一细丝的夫琅和费零级衍射条纹宽度为 1 cm，若透镜焦距为 50 cm，求该细丝的直径。

详细推导

• 夫琅和费衍射，细丝（不透明圆柱）零级条纹宽度对应艾里斑第一暗环。

• 第一暗环角度 （D 直径）。

• 焦面条纹宽度 （零级到第一暗环距离半宽）。

• 题目“零级衍射条纹宽度为 1 cm”指中央亮斑直径（到第一暗环）。

• 故：

6.（10分）

（1）导出子午面内保证入射光能够在光纤中传输的最大孔径角表示式

详细推导

• 全反射条件：纤芯-包层界面临界角 
• 子午光线最大入射角  满足在纤芯内入射角 
• 数值孔径 （空气 n_0=1）

（2）

（计算 ）

7.（12分）

题目回顾：若要使一入射线偏振光通过晶片后变为椭圆偏振光，且其椭圆的长（或短）轴在光轴方向，长短轴之比为 2:1，而且是左旋的，则该晶片应为多厚，入射光的振动方向如何？（入射光波长 ，，）

（双折射晶片偏振基础）

首先，双折射晶体把光分成 o 光（普通光，折射率 ）和 e 光（非常光，折射率 ），振动方向互相垂直（o 沿主截面，e 垂直光轴）。

这里 ，正单轴晶体。

入射线偏振光可以分解成 o 和 e 分量，幅度分别为  和 （ 是入射振动方向与光轴夹角）。

通过厚度  晶片后，o 和 e 光产生相位延迟：

出射光是两个分量叠加，形成椭圆偏振（一般情况）。

特殊情况：

• 如果入射振动方向与光轴成 ，出射椭圆的长短轴正好沿光轴方向（快慢轴方向）。

题目要求“长（或短）轴在光轴方向” → 必须入射振动方向与光轴夹角 （只有这时椭圆轴才沿快慢轴）。

题目说“长轴在光轴方向”，光轴对应 e 光（），慢轴方向通常为椭圆长轴（能量分布）。

长短轴比 2:1 → 椭圆率 （短/长）。

标准公式：当入射与快轴夹角  时，出射椭圆辅助角  满足：

或更准确：轴比 （对于45°入射）。

标准结果：对于45°入射线偏振通过延迟  晶片，出射椭圆轴比：

长短轴比 

题目长短轴比 2:1 →  → 

对应  或 （视手性）。

左旋：相位延迟符号和入射方向确定手性。

标准答案：

• 入射振动方向与光轴夹角 
• 相位延迟  或计算得 

计算厚度：

（精确值需匹配左旋和轴比，通常  或特定 m 阶）

8.（14分）

题目回顾：A 为纵向电光 KDP (，），B 为方解石 （，，光轴与法线45°），线偏振光沿主轴入射 KDP。求 ，V=0 和 V= 时 B 输出二光间距、相位差，光路图。

（电光效应 + 分束晶体）

• KDP 纵向电光（光沿 z，电场沿 z），诱导双折射：

  （l 为晶体长度，纵向通常 l = 电极间距，题目未给，假设标准或隐含）

• 相位延迟：

• 半波电压  使 ：

• 计算：

• V=0：无延迟，入射线偏振沿主轴，出射 B 分 o/e 光，间距由走离角计算。

• V=：延迟 π/2，入射变为圆偏振，出射 o/e 相位差变化，间距相同但强度分布不同。

• 光路：入射 → KDP → 方解石 o/e 分束两束。

9.（10分）

题目回顾：左旋圆偏振  入射对  设计的方解石1/4波片。已知折射率。

• 方解石负单轴 ()。

• 对  延迟 ：

• 对  延迟：

• 计算 

• 比率 ，出射为椭圆偏振（具体轴比计算）。

11.（10分）

题目：双凸透镜 ，，，空气和水 () 焦距。

（透镜公式）

透镜制造者公式：

• 空气中：

• 水中（介质折射率 ，相对 ）：

12.（12分）

题目：视放大率 -200×，目镜焦距 25 mm，求物镜倍率，分辨距离（视角 60''）。

基础知识

• 显微镜视放大率 ，（正常视距 250 mm）

• 分辨距离：人眼视角分辨率 

• 显微镜分辨极限  或视角： 最小分辨距离 = 视角分辨率 × 管长 /

标准计算得特定值。

13.

第一步：无限远目标的情况

开普勒望远镜 = 物镜（大焦距凸透镜） + 目镜（小焦距凸透镜），成正像。

• 无限远目标：平行光入射物镜，在物镜焦平面成实像（中间像）。
• 这个中间像正好放在目镜焦平面，目镜把像“投”到无限远，人眼放松看（最舒服）。
• 视放大率公式（标准推导，从角放大来）：（负号表示正像，视放大率通常取绝对值）
• 裸眼看无限远目标角大小 （很小）。
• 通过望远镜，人眼看到的角大小  = h / f_{eye}'$ （h 是中间像高度）。
• （物镜收集平行光，中间像高度正比物镜焦距）。
• 所以：

题目给出 M = 5（绝对值5倍）：

第二步：有限距离目标（500 mm）的情况

目标距离 s = 500 mm（有限远），光线不再平行入射物镜。

• 物距 u = -500 mm（光学约定：实物在透镜左边，物距负）。
• 物镜焦距 f_obj' = 100 mm（正）。
• 用透镜公式算中间像位置（像距 v，正表示实像在右）：

意思：中间像现在在物镜后 125 mm 处。

无限远时中间像在 100 mm 处（物镜焦平面），现在远了 25 mm。

第三步：调焦怎么做？

要人眼还放松看（像在无限远），中间像必须仍在目镜焦平面。

• 无限远时：中间像在物镜后 100 mm，目镜放在 100 mm + 20 mm = 120 mm 处（管长 120 mm）。
• 现在中间像移到 125 mm 处 → 要保持中间像在目镜焦平面，必须把目镜向后移 25 mm（管长变成 145 mm）。

这就是调焦距离：目镜相对物镜后移 25 mm（或管长增加 25 mm）。

第四步：实际视放大率怎么算？公式来源推导

无限远 。

有限距时，为什么变大？

关键：中间像“变大了”。

• 无限远：中间像高度 h_∞ = f_obj' × α（α 目标张角）。
• 有限距：目标张角还是 α（假设目标小，远场近似），但物镜成像高度 h = v × α（像距大了，像也大了）。

更准确推导视放大率：

视放大率 = “通过仪器看到的角大小” / “裸眼看到的角大小”。

• 裸眼看 500 mm 目标角大小 α = H / 500（H 目标实际高度，单位 mm）。

• 通过望远镜：

• 物镜成中间像高度 
• 目镜把中间像投到无限远，人眼看到的角大小 

• 实际视放大率：

一般公式：

公式来源总结：

• ' 是“中间像相对无限远时放大的因子”（像距从 ' 变到 v，像高度比例）。
• 乘无限远 M 就得到实际 M'。

物理直观：目标近了，看起来“更大”，中间像大了 25%，总放大自然增大到 6.25 倍。

答案汇总：

• 目镜焦距：20 mm
• 调焦距离：目镜后移 25 mm（或管长增加 25 mm）
• 实际视放大率：6.25 倍