10年国科大真题
1. (12分) 两相干平面光波干涉条纹形状及间距（一束沿z轴，一束与z轴夹角θ₁）
题目分析
如图所示，两束相干平面光波（单色，波长相同）：
观察屏位于 z=0 平面（垂直于z轴）。
要求：
此题为非对称双光束平面波干涉（一束垂直屏，一束斜入射）。
详细推理
1. 波矢表示
设波数 k = 2π/λ。
坐标系：屏在 z=0，z轴为法线。
2. 波矢差 Δk
3. 相位差
屏上点 r = (x, y, 0) 处相位差：
（y 方向无贡献）
强度：
亮纹条件：
等相位面 x = 常数 ⇒ 与屏交线为平行于 y 轴的直线。
干涉条纹形状为直条纹（平行于 y 轴）。
4. 相邻亮纹间距
相邻 m 差 1：
相邻亮纹间距 。
5. 物理意义
- 与对称双光束（两束 ±θ）间距 λ / (2 sin θ) 不同，此处一束垂直导致间距 λ / sin θ₁。
结论
- 干涉条纹形状：直条纹（平行于 y 轴，即垂直于两波传播方向投影连线）
2. (12分) 自然光以布儒斯特角入射玻璃，求布儒斯特角大小及透射光偏振度
题目分析
空气折射率 ，玻璃折射率 。
一束自然光以布儒斯特角 从空气入射到玻璃。
要求：
此题考察布儒斯特角定义及透射偏振特性。
详细推理
1. 布儒斯特角大小
布儒斯特角满足 p 分量反射系数为 0：
布儒斯特角大小为 或约 。
2. 透射光的偏振度
在布儒斯特角入射：
计算 ：
自然光入射，透射光强度比例：
- s 分量 ≈ (1 - R_s)/2 ≈ 0.4215
总透射强度 ≈ 0.9215
偏振度（p 分量占优）：
（精确公式 ≈ 0.085）
透射光的偏振度约为 0.085（8.5%）。
结论
3. (12分) 显微镜紫外光与可见光照明分辨本领及极限分辨距离（修正版，使用Rayleigh判据0.61系数）
题目分析
(1) 显微镜用紫外光 ( nm) 照明比用可见光 ( nm) 照明的分辨本领约大多少倍？
(2) 物镜在空气中的数值孔径 NA = 0.9，用紫外光照明时能分辨开的两条线之间的距离是多少？
(3) 用油浸 (n=1.6) 系统时，相应的能分开的两条线之间的距离是多少？
此题考察显微镜衍射分辨极限。考研及光学真题常用 Rayleigh判据：
（0.61 来自艾里斑第一暗环，严格圆孔衍射极限）
详细推理
(1) 分辨本领比较
分辨本领（可分辨最小距离倒数）与 成反比（相同 NA）。
紫外光照明分辨本领约大 2 倍（最小可分辨距离减半）。
(2) 空气中紫外光极限距离
NA = 0.9（空气，n=1）
空气中能分辨距离约 186 nm。
(3) 油浸系统极限距离
油浸介质 n=1.6，假设最大孔径角相同（sin u = NA_air / 1 = 0.9），则油浸 NA = 1.6 × 0.9 = 1.44
油浸系统能分辨距离约 117 nm。
结论
(1) 分辨本领约大 2 倍
(2) 空气中约 186 nm
(3) 油浸中约 117 nm
（计算使用Rayleigh判据 0.61 λ / NA，符合考研及中科院光学真题常用标准；比例与波长比一致）
4. (12分) 光栅一级角色散率及斜入射最小波长差计算
题目分析
光栅：
(1) 垂直入射一级角色散率
(2) 入射角 i = 30° 斜入射时，能分辨谱线的最小波长差 Δλ_min
此题考察光栅色散率及分辨本领（斜入射不影响 R = m N）。
详细推理
(1) 一级角色散率
光栅方程（垂直入射）：
角色散率：
一级 m=1：
（或约 rad/μm，考试常取近似 rad/m）
一级角色散率约为 。
(2) 斜入射 i=30° 时最小波长差
反射光栅方程（斜入射）：
分辨本领推导：
最小角分辨 Δθ_min ≈ λ / (N d cos θ)
最小波长差：
分辨本领 与入射角 i 无关（cos θ 抵消）。
对于一级 m=1（或整体最小 Δλ 基于 max m N，但题目问“能分辨的谱线的最小波长差”常指一级）：
（斜入射仅改变 θ，但 R 不变）
斜入射时最小波长差仍 0.025 nm（一级）。(这里指的任为1级，考试时候因为不清楚老师的意思，可以将特殊的几个写上，如最大值，和原来题目的级次，说明清楚)
结论
(1) 一级角色散率：约
(2) 斜入射最小波长差：
5. (14分) 杨氏双缝干涉实验中线光源位移及宽度影响
题目分析
杨氏双缝干涉装置：
- 线光源（视为沿垂直双缝连线方向的线源）距双缝 cm = m
线光源位于双缝对称轴上。
要求： (1) 屏上干涉条纹间距 (2) 线光源沿轴向下平移 2 mm 时，条纹移动方向及距离 (3) 线光源宽度使条纹恰好消失时的宽度
此题考察线光源（有限长度或宽度）对杨氏干涉的影响：位移引起条纹整体平移，宽度引起相干度下降导致条纹消失。
详细推理
(1) 屏上干涉条纹间距
标准杨氏双缝（点光源）条纹间距：
代入数值：
屏上干涉条纹间距为 1 mm。
（线光源沿轴上时，等效点源，间距不变）
(2) 线光源向下平移 2 mm 时条纹移动
线光源平移 s = 2 mm = 0.002 m（向下，垂直双缝连线）。
相当于光源偏离轴线，引起双缝照明光程差，导致中央亮纹（零级）偏移。
偏移量（屏上中央条纹位移 Δy）：
小角近似，类似杨氏实验光源偏离：
（光源偏离引起等效双缝“虚拟源”张角）
几何：光源平移 s，光到双缝光程差 δ ≈ s (a/d)，屏上对应偏移 Δy = δ D / λ × β = (s a / d) (D / a) λ / λ = s D / d
方向：光源向下平移，条纹向上移动（对称性）。
计算：
条纹向上（或与光源平移相反方向）移动约 6.67 mm。
(3) 线光源宽度使条纹消失时的宽度
线光源宽度 w（垂直双缝连线方向）使干涉条纹恰消失。
扩展源相干条件：最大光程差 ≤ λ（条纹对比度为零）
光源宽度 w 对双缝张角 θ ≈ w / d
最大光程差
条纹消失条件 （或 λ/2，考试常用 λ）
则：
代入：
结论
(1) 条纹间距：
(2) 条纹向上移动约 6.67 mm（光源向下平移引起）
(3) 宽度约为 0.6 mm
6. (12分) 正交偏振器间插入1/4波片及全波片时的光强变化
题目分析
两个正交偏振器（透振方向相互垂直）之间插入一块波片，入射强度为 的单色光通过系统。
波片绕光传播方向旋转一周（快轴方位角 变化 ）。
(1) 波片为 1/4波片（相位延迟 ）
(2) 用 全波片（相位延迟 ）代替时情况
此题考察偏振器-波片-偏振器系统的强度调制（马吕斯定律扩展）。
详细推理
透射强度通用公式
第一偏振器透振方向设为 x，第二（检偏器）为 y（正交）。
波片快轴与 x 轴夹角 ，引入快慢轴间延迟 。
系统透射率（强度）：
输出光强：
（无波片或 时 T=0，正交偏振器暗场）
(1) 1/4波片 ()
旋转波片一周 ()：
极大值（）：，出现 4次（，即 ）
极小值（）：I = 0，出现 4次（，即 ）
看到 4 个光强极大值（）和 4 个极小值（I = 0）。
相应方位：
(2) 全波片 ()
恒定为0（全波片相当于无波片，正交偏振器暗场）。
旋转无关，无极大极小变化。
光强恒为0，无极大和极小值（或始终极小）。
结论
(1) 1/4波片：旋转一周看到 4个极大（光强 ，方位 ）和 4个极小（光强 0，方位 ） (2) 全波片：光强恒为 0，无变化（无极大极小）
第七题
物理背景与坐标系设定
根据题目图示 ：
1. 厚度 与相位延迟 的判定
[cite_start]题目要求出射光为椭圆偏振光，且长轴垂直于光轴（即长轴在 轴）[cite: 26]。 这意味着 光与 光的相位差必须满足：
[cite_start]取最薄情况 ，即该晶片作为 波片 使用 [cite: 26]。
计算厚度：
2. 旋向判定（分情况讨论）
旋向取决于相位差 的正负，即哪一个分量在相位上“领先”。
情况 A：右旋椭圆偏振光（本题实际情况）
- 相位关系： 光（沿 轴）是慢光，其相位滞后于 光（沿 轴）。
- 物理轨迹：迎着光看去（从 向原点看），当 时，矢量在 轴；随后矢量向 轴旋转。
情况 B：左旋椭圆偏振光（假设条件改变）
- 触发条件：若晶片为负单轴晶体（），或者相位延迟为 。
3. 入射光振动方向分析
题目给定长短轴之比为 ，且长轴垂直于光轴（沿 轴）。
结论：入射线偏振光的振动方向与光轴（ 轴）的夹角为：
最终总结
8. (14分) 线偏振光垂直入射方解石晶体中的传播方向、相位延迟及光路图
题目分析
一束波长 nm 的线偏振光垂直入射到厚度 mm 的方解石晶体（负单轴晶体，，）。
晶体光轴方向与通光面法线（传播方向）成 夹角。
要求：
此题考察负单轴晶体中o光与e光的传播差异及相位延迟（题目为线偏振光，但计算相位延迟时常视o、e分量）。
详细推理
1. 晶体中传播方向
垂直入射，自然分解为o光和e光（线偏振光可分解为正交o、e分量）。
- o光（寻常光）：折射率 恒定，传播方向沿法线直进（无偏折）。
- e光（非常光）：有效折射率 ，传播方向偏离法线（走离效应）。
光轴与法线夹角 。
有效折射率 （负单轴）：
：
计算：
e光传播方向与o光（法线）夹角为走离角 （小角）。
负单轴走离角近似：
但定性：e光偏折，方向偏离法线。
o光沿法线直进，e光偏折走离（方向与光轴主截面内偏离法线）。
2. 输出时相位延迟
相位延迟（o、e光程差）：
（o慢）
（延迟级次约 433 波长）
输出相位延迟约为 2721 rad（或 433 ）。
3. 光路图（文字描述）
- 出射后（空气中）：o光与e光平行传播，但横向错位 。
结论
- 传播方向：o光沿法线直进；e光在主截面内偏折走离（与法线夹角 ρ）
- 相位延迟：约 2721 rad（或延迟约 433 ）
- 光路图：如上文字描述，o直进，e偏折，出射平行横向分离
9. (12分，每小题2分) 名词解释
辐射通量
辐射通量（radiant flux）是指单位时间内通过某一截面或辐射到某一表面的辐射能量，符号 ，单位为瓦特（W）。
辐照度
辐照度（irradiance）是指单位面积上接收到的辐射通量，符号 ，单位为瓦特每平方米（W/m²）。
球差
球差（spherical aberration）是指光学系统对轴上点物不同孔径（或不同高度）光线成像时，焦点位置不重合的单色像差。
位置色差
位置色差（axial chromatic aberration 或 longitudinal chromatic aberration）是指不同波长光对同一轴上物点成像时，像点沿光轴位置不同的色差。
孔径光阑
孔径光阑（aperture stop）是指光学系统中限制轴上光束截面（通光口径）的光阑，它决定系统的相对孔径和光通量。
视场光阑
视场光阑（field stop）是指光学系统中限制成像视场范围的光阑，它决定系统的视场角大小。
10. (6分) 薄透镜从空气置于水中焦距变化计算
题目分析
折射率为 的薄透镜置于空气中时，焦距 cm = m。
求将此透镜置于折射率为 的水中时的焦距 。
此题考察透镜浸入介质后相对折射率变化导致焦距改变。
详细推理
空气中焦距公式
薄透镜制造商公式（空气中 ）：
水中焦距公式
水中介质折射率 ，透镜相对折射率
焦距公式变为：
水中焦距为 40 cm（空气中焦距的 4 倍，因相对折射率减小为空气中的 1/4）。
结论
将此透镜置于水中的焦距为：
11. (5分) 照相镜头曝光时间缩短时光圈数选择计算
题目分析
照相镜头：
- 初始：光圈数 16，曝光时间 1/50 s，可拍摄理想图像
求拍摄同一目标时，光圈数应选择多少？
此题考察摄影曝光量守恒原理（EV 值相同）。
详细推理
曝光量（曝光值）正比于口径面积（反比于光圈数平方）与曝光时间乘积。
曝光量公式：
理想曝光时曝光量恒定：
初始： s
新： s
曝光时间变化倍数：
曝光时间缩短为原来的 1/4，要保持曝光量相同，需增大口径面积 4 倍（即减小光圈数平方 4 倍）：
光圈数应选择 8（口径增大，进光量增加4倍，补偿时间缩短）。
结论
拍摄同一目标，光圈数应选择 8。
12. (8分) 正透镜两个位置成像，证明焦距公式
题目分析
假设物面与像面距离固定为 ，期间一个正透镜有两个不同位置，能使物体在同一像面上清晰成像。
两个位置间距为 。
证明透镜焦距 为：
此题考察高斯成像公式在固定物像距离下的应用（两个共轭位置）。
详细证明
采用薄透镜符号约定：实物距 ，实像距 ，焦距 。
高斯公式：
设第一个透镜位置：
第二个位置（透镜向像方移动距离 ）：
焦距相同：
令 （物距正值），，则
第一个位置：
第二个位置：新物距 ，新像距
相等：
展开右边：
左边
等式：
（d ≠ 0）除 d：
代入：
从 ：
证明完毕：。
结论
透镜焦距为：
13. (11分) 开普勒望远镜参数计算（视放大率6，视场8°，出瞳5 mm，管长140 mm）
题目分析
开普勒望远镜：
求： (1) 物镜焦距 和目镜焦距 (2) 分划板直径 (3) 物镜口径 和目镜口径 (4) 出瞳距离
此题考察开普勒望远镜正常调节参数及无渐晕设计。
详细推理
(1) 物镜焦距 和目镜焦距
视放大率：
管长（正常调节）：
联立：
(2) 分划板直径
分划板（场光阑）位于物镜焦面，直径对应物方视场 ：
分划板直径约 16.8 mm。
(3) 物镜口径 和目镜口径
物镜口径（入瞳）：
目镜口径（无渐晕最小值）：
物镜口径 30 mm，目镜口径约 24.5mm。
(4) 出瞳距离
出瞳距目镜后顶点距离（eye relief）：
(上式可通过两次成像公式证明)出瞳距离约 23.3 mm（距目镜后顶点）。
结论
(1) 物镜焦距，目镜焦距
(2) 分划板直径约 16.8 mm
(3) 物镜口径 30 mm，目镜口径约 24.5 mm
(4) 出瞳距离约 23.3 mm
14. (8分) 双星分辨所需望远镜口径及最佳放大率
题目分析
一发出可见光的双星：
要求： (1) 欲看清两星（刚分辨），需多大口径 的望远镜物镜？ (2) 为充分发挥此望远镜衍射分辨率，应采用多大倍率 的望远镜？
此题考察望远镜衍射分辨极限（Rayleigh判据）及正常放大率。
详细推理
(1) 所需物镜口径
双星角分离 （小角近似）：
望远镜衍射极限（Rayleigh判据，第一暗环）：
取可见光典型波长 nm = m
刚分辨时 ：
所需物镜口径约 0.64 m（64 cm）。
(2) 最佳放大率
充分发挥衍射分辨率：望远镜分辨角放大到人眼分辨极限。
人眼典型分辨角 （或瞳孔 5 mm 时匹配）
正常放大率：
（或标准公式 ，取瞳孔 mm：
真题常取人眼极限 1'，得约 276 倍；或实用 100–200 倍）
最佳放大率约 276 倍（充分发挥衍射极限）。
结论
(1) 所需物镜口径：约
(2) 最佳放大率：约
