数列极限
(云南大学, 2020)已知 ，数列 满足递推关系：
证明：令 ，代入递推式得：
由于 ，故解得。
设 ，则 是公比为 的等比数列：
即 。由此推得 ，故 。
(云南大学, 2020) 求极限：。
解:函数 和 在区间 上均连续，且 。由积分第一中值定理知，存在 ，使得：
对上式进行分子有理化：
分子分母同除以 得：
由 可知：
当 时，左右两端均趋于 。由夹逼定理知 。 故 。
(西北大学, 2020) 设 ()。证明其在 内有唯一解 ，并求 。
证明: 先证明唯一性:
。当 时 ，故函数在 严格递增。
，。 由连续函数介值定理知，在 内必存在唯一解 。
考虑 在 处的值：
已知 且 ，故：
又已知 ，且 是增函数。 由于 ，必然推导得 。 数列 单调递减且有下界 ，故极限 存在。
利用等比数列求和公式将方程变形：
由于 单调递减，对于所有的 ，有 。 其中 是方程 的正根，即 。 因此 。由 结合夹逼定理得：
对等式 两边取极限得：
故 。
