【试卷解析】难爆了?2026天津一中高一、高二下期中试卷&2026河西区高三二模简解 | 陈奕迅《心的距离》
- 2026-04-29 01:04:13
【试卷解析】难爆了?2026天津一中高一、高二下期中试卷&2026河西区高三二模简解 | 陈奕迅《心的距离》近几天试卷井喷，因公众号每日只得群发一次，只好把几张试卷放在一篇文章里解析．同时笔者时间精力实属有限，南开中学高三五月考、高三十二校联考的试卷还未来及做，我们留到以后的推送中再做解析．推荐读者们将本期分享的三张试卷中的题目都看一看，对自己年级的学习（或教学）都有益处．
【天津一中高一下期中】 试卷整体非常基础．可以推断出，本张试卷将解三角形和立体几何两大模块更多地定位于工具功能，而没有在模块内部考察太深太难的内容．挑两道小题说一下： 
第10题选择压轴，嵌合了三个模块．先根据一上来的三个条件解三角形ABC，再根据等和线的结论确定x,y的关系，最后使用不等式的工具求最值． 
16题是老朋友了，经常能在高三模拟卷中见到它．先根据题意画出准确的图形，∠B=60°，BC中点与ABD构成菱形．第2空中，设出E和F的位置进行基底表达即可，建系也不难．上图中验证取等条件的步骤就略去了． 大题都很简单．
【天津一中高二下期中】 高一的试卷眉清目秀，高二这里画风突变，难度比较大． 
第2题是常见题型，见过就会，不过放在第2题还是有点难． 
第6题是对三次函数的函数性质分析题，因为函数先减再增再减，所以导函数开口向下，a<0；又因为|x1|<|x2|，所以导函数对称轴在0的右侧，“左同右异”，b>0；c=f'(0)>f'(x1)=0；d=f(0)<0，选C． 
第7题开始难度陡然上升，客观说已经不属于一道小题的计算量和思维量了．先通过联立和韦达定理把x1,x2,x3找到，然后用a表达k1和k2，进而把a解出．要保证x2=2，在这个限定条件下a=8要舍去，选A． 
第8题也比较困难，尤其是紧跟着第7题的情况下． 一上来需要一点注意力作为突破点，题目条件很像零点存在性定理，事实上也确实如此，f(0.218)f(1.218)<0，诸如此类的不等式意味着f(x)在(0,2)内必有零点；而(0,1)和(1,2)内又不可能有零点，否则f(x)f(x+1)就可能为0了，所以只能让f(1)=0，得到a=b． 然后又是让考生不耐烦的函数性质讨论分析，f(x)在(0,√a)↑，(√a,+∞)↓．首先√a>1，否则f(x)≤0恒成立了；如果√a在2之后，那f(x)在(0,2)递增，的确符合(0,1)的函数值与(1,2)的函数值异号；如果√a在2之前，那f(2)就必须大于等于0，得到a的整数部分最小为2．选B． 所幸填空难度不太大，压轴题值得说一说： 
首先本题与b无关，并且λ的提示非常明显，本题需要比值换元．表达出g(λ)≥5ln2/2后，在考场上先注意g(2)=5ln2/2，再直接猜λ≥2就走，不要花时间求导验证了，错了认倒霉． 前几道大题都是简单题和中档题，最后一道题稍显困难． 事先声明，截止推送发表时间，笔者未在网络上查找到本题解析，以下解题思路均为笔者仓促所想，大概率有待优化，如有错误敬请指正． 
先注意到本题中e^x比x出现得多，所以直接进行指数换元，本题等价于下面的题目（这里exp(x)指e^x）： 
第1问，先以a为主元会更简单： 
第2问，还是需要先对f(x)求导，得到f(x)在(0, 1/a)↓，(1/a, +∞)↑，所以f(1/a)<0，得到0<a<1． (i)可以尝试加强为证明x2<2/a，但并不是对所有(0,1)内的a恒成立，笔者索性直接暴力证明了： 
第(ii)问，相信很多同学看到等价后的题目版本应该反应过来了，这就是一道非常经典的双变量例题： 
用对数均值不等式，可以很快解决本题，简要过程如下： 
这张试卷题目质量很高，希望高二的同学们可以调整好心情，在学校讲评试卷前，依凭本篇推送稍作复盘，把不会的题目尽量弄懂．
【河西二模】 终于来到重头戏……本张试卷难度不低，难题位置没有放水，命制的大多比较漂亮．下面来看一下几道值得一提的题目： 
第2题是老生常谈的问题了，注意a=0，b=0． 
第5题，耐心找规律即可，从第3项起为周期数列． 
第7题，又是求不规则几何体的体积，幸好出题人给了提示．根据提示，长方体的体积为10×6×4，每个三棱锥底面均为边长为3的等腰直角三角形，高为4，相减即可． 应@y=½x²要求，展示ta的Simpson公式做法：下底面面积为10×6，上顶面如图所示： 
面积为42．中截面如下图所示： 
面积为55.5．高为4，代入公式计算即可．至于Simpson公式，在和平二模推送中有提到．读者可以先订阅本公众号，再点击链接查看上篇推文． 
第8题比较常规． 
第9题反而不是“主流”的圆锥曲线小题风格，更像初三的“铅垂高”类型题，把|OM|²-|OA|²表示为关于t的二次函数即可，难度不高． 
14题可以建系，找到P点横纵坐标的关系后直接计算即可．不过笔者发现了一个比较漂亮的几何做法，基本全程应用的都是极化恒等式． 
这里的中线长定理、Stewart定理也不是公众号中首次提到了，比较经典的应用详见今年的十二校一模． 
15题明显在模仿2025天津高考的15题，我们也仿照高考题的解析，写一个防御性证明，读者可以思考一下下面过程中的数都是如何“注意到”的． 
解析几何终于不是19题了，不过本题难度也不算很低．比较简单的方法是从齐次化（对合变换）的视角看，立得AP和AQ斜率之积为定值，于是PQ过定点．后面用基本的韦达定理即可解决． 凑巧的是，这个定点刚好是椭圆的左焦点，于是像笔者一样不喜欢联立的选手，也可以使用第二定义进行后续处理． 
河西区的数列从来不负所望，这道题或许可以入选最难数列解答题第1问排行榜： 
第2问和十二校一模的数列有点相像，也是不少老师讲过的题型了． 以x为最小元素的集合，就不能再在1~x-1里选数了，但x+1~n可以随便选，于是这样的集合有2^(n-x)个．所以 
求和即可； 第（ii）问，以x的视角看，如果让y作为一个集合的最大元素，1~x-1和y+1~n不能选，x+1~y-1可以随便选，于是这样的集合有2^(y-x-1)个．但是注意，如果x=y，这样的集合只有1个，不符合刚才给出的式子，所以干脆给一个集合个数的记号 
这样就有 
也可以站在y的视角看，更换求和的上下标，改为 
后续就是错位相减了． 依笔者看来，本题完全没必要把公比设计成q，换成一个具体的数，如2,4观感或许会更好． 
20题应该是今年各区模拟中新颖度和难度都在上乘的导数题了． 第3问看起来非常唬人，其实出题人也比较仁慈了，给我们留下来不少线索和“喘息之机”．直接尝试归纳，只需证明（此处省去归纳奠基） 
先看右侧，分母和a产生了强烈的联系，直接用a换掉k，只需证明 
这个式子看上去比较简洁，可以直接代入验证，但依笔者的习惯还是先尝试一些熟知放缩．考虑到本题函数中多项式部分是二次的，我们尝试将Taylor公式保留到三次方： 
右侧证明完毕．这也为左侧的证明提供了一些提示． 有没有什么放缩可以得到e^x的上界呢？常见的放缩有e^x≥x+1的推论——e^x≤1/(1-x)；还有(1,1)阶Pade逼近——e^x≤(2+x)/(2-x)．此处我们使用后者： 
左侧也证明完毕．不难看出，出题人大概率就是基于这两个放缩命制的本题．当然，左侧也有老师分享了其它的证明方法，本文中不便展示，读者可以自行搜索浏览． 类似的题目，还可以出得更玄、更难，笔者再分享一道个人讲义中的选题： 
最后再提一句，和平二模的导数第3问有一个幽默的一行证明： 
对天津中高考数学感兴趣的读者可以点击下方链接关注公众号：火箭缺钱了吗．
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