【试卷解析】中规中矩,2026十二校二模高三数学解析 | Diana Krall - Cry Me A River
- 2026-09-18 01:22:10
【试卷解析】中规中矩,2026十二校二模高三数学解析 | Diana Krall - Cry Me A River昨天我们对天津一中高一高二期中以及高三河西二模试卷进行了解析，读者可以点击链接查看． 今天我们讲解一下高三十二校二模试卷中的几道有亮点的题目．
【选择题】第9题 
又是公共体积，不过这道题比部分区一模的第9题简单多了： 
简单的描图就可以看出，Ω即为正方体的六个面心构成的正八面体． 【填空题】第14题 
本题建系、基底法都能做，但最简单的方法还是极化恒等式．取BD中点N，则BM·DM=|MN|²-|BN|²，只需求出|MN|的最小值．根据初中的经验“瓜豆原理”，点M的轨迹为一条直线，然后量化计算即可． 昨天推文中提到了高一期中的第16题： 
@浩 指出，这道题也可以用极化恒等式求解，具体过程留给读者思考． 【填空题】第15题 
网络上数形结合的方法已经很多了，我们提供一种不基于几何观察的朴素代数做法： 量词很多，我们不妨考虑把命题转化为更好理解的： 不存在b，使得|x²-ax-b|<1在x∈[0,1]恒成立． 记f(x)=x²-ax，命题即 不存在b，使得|f(x)-b|<1恒成立． 即 不存在b，使得-1+b<f(x)<1+b恒成立． 即 不存在b，使得min(f(x))>b-1，且max(f(x))<1+b． 即 max(f(x))<min(f(x))+2不成立 即 max(f(x))≥min(f(x))+2 写到这里，就转化成一个最基本的二次函数区间最值问题了，简单讨论后得到a≤-1或a≥3． 【解答题】第18题 
嵌合了两道题，陈旧的模型，新的考法． 
如上图，熟知P在F2的极线x=4上，所以P(4,0)，|PF2|=3． M点是一个新元素，不过依然是调和点列的背景，事实上和椭圆都没有关系． 因为D为AC中点，所以MA,MC,MN,MD为调和线束，用x轴截这组线束，即得F1,F2;N,D构成调和点列． 因为O为F1F2中点，所以 |ON||OD|=|OF1||OF2|=c² 所以x(M)=c²/x(A)，再根据三角形MNF2与三角形ADF2相似，可以求出M点的纵坐标，进而推得M点的轨迹方程为 
这是焦点为(±c,0)，实轴长为2a'=2c²/a=1的双曲线，所以|MF1|-|MF2|=1．所求式的值为3+1=4． 【解答题】第19题 小小吐槽一下，本题有点像天津高考物理压轴题，题干写的非常玄乎，但是每一问细想转化后就是最基本的式子，而且每问之间基本没有联系…… 
第（2）问中定义了一个{c(n)}的生成数列{d(n)}，说白了就是d(k)为数列{c(n)}前k项中最大的． 第(i)问带领考生体验了一下新定义，顺便考了NPC错位相减． 第(ii)问说，{c(n)}是1~n的排列，{d(n)}是在{c(n)}中不断取最大项得到的数列，那一定有d(n)=n，并且{d(n)}单调不减．而{d(n)}还得是等差数列，最小项不小于1，公差还得是非负整数，种种限定条件可以完全锁定{d(n)}：要么是常数列n,n,n,...，要么是平凡的1,2,3,...,n． 如果{d(n)}是1,2,3,...,n，就要求{c(n)}严格按1,2,3,...,n排列；如果{d(n)}是n,n,n,...，就要求{c(n)}的第一项必须是n，后面的n-1项随便排． 这样就得到了所谓的M，即数列{c(n)}的个数，为1+(n-1)!．T(n,j)也是打酱油的角色，{c(n)}既然是1~n的排列，那T(n,j)一定是n(n+1)/2． 所以所求答案即为n(n+1)[(n-1)!+1]/2． 个人认为，如果把19题的第二问删去，和18题互换位置，效果或许会更好一些． 【解答题】第20题 
依然是毫无联系的三问，第（3）问仿照2019天津高考，考察导数与三角函数的结合，不过本题比2019年的真题简单太多了． 
简单分析一下图象，就可以得到解题突破口．从x1开始，p(x)=x/exp(x)就单调递减了，所以 sin(x1)=p(x1)>p(x2)=sin(x2) 即sin(x1)>sin(x2)，调整到同一段单调区间中，就有sin(x2)<sin(3π-x1)，进而x1+x2<3π． 对一般的n也是一样的，简要过程如下： 
当然，还需要一系列的卡根与估计范围，这里就从略了．
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