黔文艺〡2026新高考全国II卷数学试卷

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第 1 题｜复数

(1−3i)²=

A. −8+6i

B. −8−6i

C. 8+6i

D. 8−6i

第 2 题｜平面向量数量积

已知向量 a, b 满足 |a+b|=1，|a−b|=√3，则 a·b=

A. 1/2

B. 1/4

C. −1/2

D. −1/4

第 3 题｜集合

已知集合 A={0,1,3,6,9}，B={x | √x=x}，则 A∩B=

A. {0,1}

B. {3,6}

C. {0,1,9}

D. {0,3,9}

第 4 题｜双曲线渐近线

双曲线 C: x²/a² − y²/b²=1 (a>0, b>0) 过点 (1,0) 和 (√5/2, 3)，则其渐近线方程为？

A. y=±3√2·x

B. y=±4√3·x

C. y=±(√3/2)·x

D. y=±(√2/6)·x

说明：按清晰题面计算，本题结果与选项不匹配，后文保留核对说明。

第 5 题｜棱台体积

棱台上下底面均为有一个内角是 60° 的菱形，且上下底面边长分别为 2 和 3，该棱台的高为 √3，则该棱台体积为？

A. 19/12

B. 19/6

C. 19/4

D. 19/2

第 6 题｜分组计数

甲、乙、丙、丁等 8 人分成 A、B 两技术小组，要求每组 4 人，且甲乙必须在同一组，丙丁不能在同一组，共有多少种分配方案？

A. 10

B. 12

C. 16

D. 24

第 7 题｜三角恒等变换

已知 α 为第二象限角，且

3sin2α·cosα = 8sinα·cos2α，

则

(1+sinα)/(2−cosα) =

A. 3/4

B. 3/2

C. 1/2

D. 15/8

第 8 题｜函数奇偶性与反周期

已知 f(x) 为定义在 R 上的偶函数，且 f(x)+f(x−2)=0，当 x∈[3/2, 3] 时，f(x)=x²+ax+b，则？

A. a=−2, b=−3

B. a=−2, b=3

C. a=−4, b=−3

D. a=−4, b=3

第 9 题｜圆与圆的位置关系

已知 ⊙O: x²+y²=1，⊙A: x²+y²−6x−8y+k=0，则？

A. 点 A 的坐标为 (−3,−4)。

B. k=9 时，⊙A 与 x 轴相切。

C. 当 k=−11 时，⊙A 与 ⊙O 相切。

D. 当 ⊙O 与 ⊙A 相交时，两交点所在直线的方程是 6x+8y−k−2=0。

第 10 题｜等比数列

等比数列 {a_n} 的公比 q≠1，a₁>0，2a₃=a₂+a₁，记前 n 项和为 S_n，则？

A. q=−1/2。

B. S_n > 2a₁/3。

C. 2S_n+2 = S_n+1+S_n。

D. Σⁿ_k=1 S_k > 2na₁/3。

第 11 题｜抛物线综合

已知抛物线 E: y²=8x，斜率 k (k>0) 的直线 l 过点 (1,0)，△ABC 为等边三角形，A 在 y 轴上，B, C 在 l 上，则？

A. 抛物线准线方程为 x=−2。

B. l 与 y 轴交点为 (0, −k)。

C. 若 l 与 E 相交于唯一一点 B，则抛物线焦点在直线 AB 上。

D. k=2 时，△ABC 面积最小值为 √3/2。

说明：第 11 题清晰图文字可能仍有条件缺失，后文按字面题面解析。

第 12 题｜等差数列

S_n 为等差数列 {a_n} 前 n 项和，若 a₁=−1，a₄=5，则 S₆=____。

第 13 题｜指数函数零点

若函数 f(x)=2^x+2^−x−m 有两个零点，则 m 的取值范围是？

第 14 题｜球与正三角形

球 O 的体积为 4√3·π，A,B,C,D 四点均在球 O 的球面上，△ABC 为等边三角形，DA=DB=DC=√2，则 △ABC 的面积为？

第 15 题｜频率分布直方图

某工厂抽取一批电子元件检测，记录第一次出现故障的时间（天），绘制频率分布直方图。

直方图区间及频率密度为：

[345,355)：0.01

[355,365)：0.02

[365,375)：0.015

[375,385)：0.025

[385,395)：0.01

[395,405)：0.01

[405,415)：0.005

[415,425]：0.005

问题：

1. 求第一四分位数和中位数；

2. p̂ 为首次故障时间小于 365 天的概率估计值：① 求 p̂；② 工厂向某用户销售 100 件电子元件，X 为这 100 件产品首次出现故障小于 365 天的件数，则 X~B(100, p̂)，求 E(X), D(X)。

第 16 题｜立体几何

三棱锥 A−BCD 中，E 在 BD 上，AE⊥CE，AE⊥DE，CD⊥AD。

1. 证明：CD⊥AB；

2. 若 DE=2，BE=1，AE=√2，CD=2√3，求 AD 与平面 ABC 所成角的正弦值。

第 17 题｜解三角形

在 △ABC 中，已知 cosB=3/4，cos²(A+C)+sinA·sinC=1。

1. 证明：△ABC 为钝角三角形；

2. 若 △ABC 面积为 √7/4，求 △ABC 周长。

第 18 题｜椭圆与动点轨迹

椭圆 E: x²/a²+y²=1 (a>1)，过右焦点垂直于 x 轴的直线被 E 所截线段长为 √2。

1. 求 E 的离心率；

2. O 为坐标原点，给定点 G(t₀, 0) (t₀≠0)；A(x₀, y₀) (y₀≠0) 在 E 上，过点 A 作 y 轴的垂线，交于点 B；AO 与 GB 交于点 P。当 A 在 E 上运动时，P 的轨迹为 M。

① 求 M 的方程；

② M 是否有中心点？当 t₀ 为何值时，M 有中心点？当 M 有中心点时，平移 M 到 M'，使 O 为 M' 的中心点，说明 M' 为何形状。

第 19 题｜导数与不等式

已知函数 f(x)=xe^x+ax+b，曲线 y=f(x) 在点 (0, f(0)) 处的切线方程为 y=−2x+1。

1. 求 a, b；

2. 当 x>0 时，f(x+m)−f(x) > m，求 m 的取值范围；

3. 当 x>0 时，f(k+x)+f(k−x) > 2f(k)，求 k 的最小值。

答案速览

第 1 题解析

(1−3i)² = 1 − 6i + 9i² = 1 − 6i − 9 = −8 − 6i。

答案：B

考点：复数乘法，i²=−1

第 2 题解析

由模长平方公式：

|a+b|² = |a|² + |b|² + 2a·b = 1

|a−b|² = |a|² + |b|² − 2a·b = 3

两式相减：4a·b = 1−3 = −2，所以 a·b = −1/2。

答案：C

考点：向量模长平方展开

第 3 题解析

√x = x，要求 x≥0。两边平方：x = x²，x(x−1)=0，所以 B={0,1}。又 A={0,1,3,6,9}，因此 A∩B={0,1}。

答案：A

考点：集合、根式方程

第 4 题解析

由双曲线过点 (1,0)：1/a²=1，所以 a²=1。又过点 (√5/2, 3)：(5/4)/1 − 9/b²=1，所以 9/b²=1/4，b²=36。因此渐近线为 y=±(b/a)x=±6x。

答案：按题面计算为 y=±6x，但四个选项中没有对应结果。

考点：双曲线标准方程、渐近线。本题建议保留核对口径，不强行选 A–D。

第 5 题解析

菱形面积 S=a²·sin60°。上底面积 S₁=2²·√3/2=2√3。下底面积 S₂=3²·√3/2=9√3/2。棱台体积 V=(h/3)(S₁+S₂+√(S₁S₂))。√(S₁S₂)=3√3。V=(√3/3)(2√3+9√3/2+3√3)=19/2。

答案：D

考点：菱形面积、棱台体积

第 6 题解析

A、B 两组有标签。若甲乙在 A 组：丙、丁中选 1 人进入 A 组，有 2 种；再从剩下 4 名普通成员中选 1 人进入 A 组，有 4 种。共 2×4=8 种。若甲乙在 B 组，同理 8 种。总数：8+8=16。

答案：C

考点：分类计数、分组问题、限制条件

第 7 题解析

展开 sin2α=2sinα·cosα：6sinα·cos²α=8sinα·cos2α。因为 α 为第二象限角，sinα≠0，两边同除 2sinα：3cos²α=4cos2α。又 cos2α=2cos²α−1：3cos²α=4(2cos²α−1)，5cos²α=4，cos²α=4/5。第二象限角中 cosα=−2/√5，sinα=1/√5。代入得 (1+sinα)/(2−cosα)=1/2。

答案：C

考点：三角恒等变换、象限符号

第 8 题解析

由 f(x)+f(x−2)=0 可得 f(x)=−f(x−2)。令 x=1：f(1)+f(−1)=0。又 f(x) 为偶函数，f(−1)=f(1)，所以 f(1)=0。令 x=3，得 f(3)=0。代入二次式：9+3a+b=0。记为式①。再由条件可推出 f(3/2)=f(5/2)。代入二次式：(3/2)²+3a/2+b=(5/2)²+5a/2+b，解得 a=−4。代入式①：9+3(−4)+b=0，所以 b=3。

答案：D

考点：偶函数、反周期关系、区间转化

第 9 题解析

圆 A：x²+y²−6x−8y+k=0。配方：(x−3)²+(y−4)²=25−k。所以圆心为 A(3,4)，半径为 r_A=√(25−k)。A 错误。当 k=9 时，r_A=4，圆心纵坐标为 4，因此与 x 轴相切，B 正确。当 k=−11 时，r_A=6。两圆圆心距为 5，且 |6−1|=5，所以两圆内切，C 正确。公共弦方程由两圆方程相减得到：6x+8y−k−1=0。D 错误。

答案：B、C

考点：圆的一般方程、相切条件、公共弦方程

第 10 题解析

由 2a₃=a₂+a₁ 得 2a₁q²=a₁q+a₁。a₁>0，所以 2q²=q+1，(2q+1)(q−1)=0。又 q≠1，所以 q=−1/2。A 正确。前 n 项和 S_n=(2a₁/3)(1−(−1/2)ⁿ)。当 n 为偶数时 S_n<2a₁/3，B 不恒成立。验证 C：2S_n+2−S_n+1−S_n=(2a₁/3)qⁿ(−2q²+q+1)，当 q=−1/2 时该式为 0，C 正确。对 D，∑S_k=(2a₁/3)[n−∑(−1/2)^k]，而 ∑(−1/2)^k<0，因此 D 正确。

答案：A、C、D

考点：等比数列通项、前 n 项和、命题真假判断

第 11 题解析

抛物线 y²=8x，p=4，焦点 (2,0)，准线 x=−2。A 正确。直线 l 过 (1,0)，斜率 k，方程为 y=k(x−1)。令 x=0 得 y=−k。B 正确。对 C，联立后判别式 Δ=32(k²+2)>0，对 k>0 总有两个交点，不会"相交于唯一一点"。对 D，仅按字面条件"A 在 y 轴上，B,C 在 l 上"，B,C 未必在抛物线上，等边三角形面积可任意缩小，不存在题述最小值。

答案：A、B（按字面题面）

考点：抛物线标准方程、直线与抛物线联立、题面条件判断。第 11 题建议保留核对口径。

第 12 题解析

a₄=a₁+3d，5=−1+3d，d=2。a₆=a₁+5d=−1+10=9。S₆=(6/2)(a₁+a₆)=3(−1+9)=24。

答案：24

考点：等差数列通项与求和

第 13 题解析

令 t=2^x，则 t>0，2^−x=1/t。f(x)=t+1/t−m。由基本不等式：t+1/t≥2。要有两个不同零点，水平线 y=m 必须高于最小值 2。所以 m>2。

答案：m > 2

考点：指数换元、基本不等式、零点个数

第 14 题解析

球体积：(4/3)πR³=4√3·π，所以 R=√3。设等边三角形 ABC 的外接圆半径为 ρ。DA=DB=DC，点 D 在过 △ABC 外心且垂直于平面 ABC 的轴线上；球心也在该轴线上。通过轴线关系可解得 ρ²=5/3。等边三角形边长 a=√3·ρ，面积 S=(√3/4)a²=5√3/4。

答案：5√3/4

考点：球内几何、等边三角形外接圆、空间轴线建模

第 15 题解析

各组组距均为 10，每组频率 = 组距 × 频率密度：

[345,355)：0.10

[355,365)：0.20

[365,375)：0.15

[375,385)：0.25

[385,395)：0.10

[395,405)：0.10

[405,415)：0.05

[415,425]：0.05

第一四分位数对应 25%。第一组累计 0.10，25% 落在第二组 [355,365)。需补足 0.15，对应长度 0.15/0.02=7.5。第一四分位数 = 355+7.5=362.5。

中位数对应 50%。前三组累计 0.45，50% 落在第四组 [375,385)。需补足 0.05，对应长度 0.05/0.025=2。中位数 = 375+2=377。

p̂=0.10+0.20=0.30。X~B(100, 0.3)，E(X)=30，D(X)=21。

答案：第一四分位数 362.5；中位数 377；p̂=0.3；E(X)=30，D(X)=21

考点：频率分布直方图、分位数、二项分布期望方差

第 16 题解析

以 E 为原点建立空间直角坐标系。令 BD 为 x 轴，取 D(2,0,0)，B(−1,0,0)。AE⊥DE，AE=√2，取 A(0,0,√2)。AE⊥CE，点 C 在 z=0 平面内，设 C(u,v,0)。又 CD⊥AD，得 u=2。CD=2√3，取 C(2, 2√3, 0)。CD→=(0, 2√3, 0)，AB→=(−1, 0, −√2)。点积为 0，所以 CD⊥AB。

平面 ABC 法向量 n→=(2√6, −3√2, −2√3)。AD→=(2, 0, −√2)。sinθ=|n→·AD→|/(|n→|·|AD→|)=√6/3。

答案：√6/3

考点：空间坐标系、线线垂直、线面角

第 17 题解析

A+B+C=π，A+C=π−B。cos²(A+C)=cos²B=(3/4)²=9/16。由 cos²(A+C)+sinA·sinC=1 得 sinA·sinC=7/16。又 cos(A+C)=cos(π−B)=−3/4。而 cos(A+C)=cosA·cosC−sinA·sinC，所以 cosA·cosC=−3/4+7/16=−5/16。cosA·cosC<0，说明 A、C 中一个为钝角。所以 △ABC 为钝角三角形。

sinB=√7/4。由面积 S=ac·sinB/2=√7/4，得 ac=2。结合余弦定理得 a+c=3，b=√2。周长 a+b+c=3+√2。

答案：3+√2

考点：三角恒等变换、面积公式、余弦定理

第 18 题解析

椭圆 x²/a²+y²=1 (a>1)，b²=1，c²=a²−1。过右焦点垂直于 x 轴的直线为 x=c。代入椭圆：y²=1/a²。弦长 2/a=√2，得 a=√2，c=1。离心率 e=c/a=√2/2。

椭圆为 x²/2+y²=1。设 P(x,y)。由 P 在 AO 上及 P 在 GB 上，得 x₀=t₀x/(t₀−x)，y₀=t₀y/(t₀−x)。代入椭圆方程：(t₀−x)²=t₀²(x²/2+y²)。展开：(1−t₀²/2)x²−t₀²y²−2t₀x+t₀²=0。当 t₀≠±√2 时，该曲线有中心，中心为 (2t₀/(2−t₀²), 0)。0<|t₀|<√2 时平移后为双曲线；|t₀|>√2 时平移后为椭圆；|t₀|=√2 时无中心，为抛物线型。

答案：e=√2/2；M: (t₀−x)²=t₀²(x²/2+y²)；t₀≠±√2 时有中心；0<|t₀|<√2 时平移后为双曲线；|t₀|>√2 时平移后为椭圆；|t₀|=√2 时为抛物线型

考点：椭圆焦点弦、参数法、轨迹方程、圆锥曲线分类

第 19 题解析

f(x)=xe^x+ax+b。f(0)=b。切线 y=−2x+1 过 (0,f(0))，b=1。f'(x)=e^x+xe^x+a=e^x(x+1)+a。由 f'(0)=−2 得 a=−3。

第 2 问：要求对 x>0，f(x+m)−f(x)>m。代入整理得 (x+m)e^x+m−xe^x>4m。分析得 m>0 且 e^m≥4，所以 m≥ln4。

第 3 问：要求对 x>0，f(k+x)+f(k−x)>2f(k)。代入整理：k(e^x+e^−x−2)+x(e^x−e^−x)>0。写成双曲函数：2k(cosh x−1)+2x·sinh x>0。k > −x·sinh x/(cosh x−1)。当 x→0⁺ 时右侧上确界为 −2，k_min=−2。

答案：a=−3, b=1；m≥ln4；k_min=−2

考点：导数几何意义、恒成立不等式、指数函数结构、极限控制