考研笔记-数学之概率论与数理统计:多维随机变量及其分布(一)

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（一）基本概念

（1）多维随机变量：设E是一个随机试验，它的样本空间是，设，，…，是定义在S上的随机变量，由它们构成的n维向量称为n维随机向量或n维随机变量。

（2）联合分布：设是二维随机变量，对于任意实数x，y，二元函数称为二元随机变量的分布函数，或称为随机变量X和Y的联合分布函数。

说明：

（a）若将二维随机变量看做平面上随机点的坐标，那么分布函数在点处的函数值就是随机点落在以点为顶点而位于该点左下方无穷矩形区域内的概率。

（b）充要条件

①定义域和值域：，；对于任意的x，，，对于任意固定的y，，；，；

②单调非减：关于x单调非减，即对于任意固定的y，当时，，关于y单调非减，即对于任意固定的x，当时，；

③右连续：关于x右连续，即，关于y右连续，即。

性质①②③同时满足即为是联合分布函数的充要条件。

（c）性质

①对于任意的，，，，有

（d）二维随机变量的分类：离散型随机变量、连续型随机变量

（3）边缘分布：二维随机变量作为一个整体，有分布函数，而X和Y作为随机变量，各自也有分布函数，将它们分别记为，，依次称为二维随机变量关于X和关于Y的边缘分布函数。（边缘分布是二维随机变量的一个随机变量在不考虑二维随机变量的另一个随机变量的情况下的分布规律，边缘分布可看作是特殊条件（即另一随机变量可取任意值）下的条件分布）

性质：

（a），；

（4）条件分布：称、为二维随机变量关于X和关于Y的条件分布函数。（条件分布是二维随机变量的一个随机变量在二维随机变量的另一随机变量的某一条件下的分布规律，是二维随机变量中两个随机变量之间的条件关系）

（5）随机变量的相互独立：设及，分别为二维随机变量的分布函数及边缘分布函数，若对于所有的x，y，有，即，则称随机变量X和Y是相互独立的。

说明：

（a）随机变量的独立性是随机事件独立性的扩充。

（b）如果随机变量x，y是相互独立的，则任一随机变量的条件概率密度（或分布列）与关于该变量的边缘概率密度（或分布列）是相等的（广义相等，p几乎处处相等，最多有可列个点值不相等）。例如，对于连续型随机变量有。

（二）离散型随机变量

（1）定义

如果二维随机变量所有可能取到的值为有限对或可列无限对，则称为离散型二维随机变量。

（2）联合分布

设二维随机变量所有可能取到的值为，，称为二维离散型随机变量的分布律，或随机变量X和Y的联合分布律。

充要条件：

（a）

（b）

性质（a）和（b）同时满足即为是的分布律的充要条件。

（3）边缘分布

对于离散型随机变量可得，，X的分布律为，，Y的分布律为，，记，分别称和为关于X和关于Y的边缘分布律。

说明：

（a）边缘分布列具有一维分布列的性质；

（b）联合分布列唯一决定边缘分布列，具体求法是将联合分布列写成表格形式，然后将各行相加得关于X的边缘分布列，各列相加得关于Y的边缘分布列，（当X，Y独立时，边缘分布列可唯一决定联合分布列）；

（4）条件分布

设为二维离散型随机变量，对于固定的j，若，则称为在条件下，随机变量X的条件分布律，同样，对于固定的i，若，则称为在条件下，随机变量Y的条件分布律。

（5）相互独立

设为离散型随机变量，X和Y相互独立的充要条件等价于：对于所有可能的取值，有。

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