考研笔记-数学之概率论与数理统计:多维随机变量及其分布(三)

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（四）n维随机变量

关于二维随机变量的概念容易推广到n维随机变量的情况。

（1）分布函数

n维随机变量的分布函数定义为，其中为任意实数。

（2）概率密度函数

若存在非负函数，使对任意实数有，则称为的概率密度函数。

（3）边缘分布函数

设的分布函数为已知，则的k维边缘分布函数就随之确定。例如，关于、关于的边缘分布函数分别为，。

（4）边缘概率密度

设是的概率密度，则关于、关于的边缘概率密度分别为，

（5）相互独立

若对于所有的有，则称是相互独立的。

若对于所有的有，其中，，，依次为随机变量，，的分布函数，则称随机变量和是相互独立的。

（6）相互独立相关的定理

定理1：设和相互独立，则和相互独立。又若h，g是连续函数，则和相互独立（反之不成立，即由和相互独立，且h，g是连续函数，无法得出和相互独立。例如，令，，且和相互独立，但不能得出和相互独立）。

定理2：若相互独立，且h，g是连续函数，则和相互独立，其中，，，，，互不相同，互不相同。

（7）n维正态随机变量的重要性质

（a）n维随机变量服从n维正态分布的充要条件是的任意线性组合服从一维正态分布（其中不全为零）。

（b）若服从n维正态分布，设是（）的线性函数，则也服从多维正态分布。这一性质称为正态变量的线性变换不变性。（该性质可由性质(a)推得）

（c）n维正态随机变量的每一个分量，都是正态随机变量（该性质可由性质(a)推得）；反之，若都是正态随机变量，且相互独立（对正态随机变量而言即不相关），则是n维正态随机变量（该性质可由性质(a)推得）。

（d）若服从n维正态分布，则“相互独立”与“两两不相关”是等价的。

（五）两随机变量的函数的分布

（一维或二维）随机变量函数的概率密度函数的求解通法——分布函数法。

（1）的分布

（a）设是二维离散型随机变量，且具有分布列，，则随机变量有分布列，。

若X和Y相互独立，则随机变量取值为m的概率为。

说明：

两个相互独立的泊松变量之和仍是一个泊松变量，且其参数等于相应随机变量分布参数的和。

（b）设是二维连续型随机变量，它具有概率密度，则仍为连续型随机变量，其概率密度为或。

若X和Y相互独立，设关于X，关于Y的边缘概率密度分别为和，则，，称这两个公式为和的卷积公式（对应项乘积累加），记为，即。

说明：

有限个相互独立的正态随机变量的线性组合仍服从正态分布。（即，其中，且相互独立。线性：单个正态随机变量的线性函数仍服从正态分布；组合：两个相互独立的正态随机变量的和仍服从正态分布）

（2）、的分布

设是二维连续型随机变量，它具有概率密度，则，仍为连续型随机变量，其概率密度分别为，。

若X和Y相互独立，设关于X，关于Y的边缘概率密度分别为和，则，。

（3）、的分布

基本公式：

，；

等价命题：

，，，。

设X，Y是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为，，则的分布函数为

，

的分布函数为

。

（因为X和Y两者中必定是一个为，另一个为，或者由基本公式推得）。

设是n个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为，则及的分布函数分别为，，特别地，当相互独立且具有相同的分布函数时（即独立同分布），有，。

（六）离散型二维随机变量和连续型二维随机变量对比

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