2007.12工科数分(下）重修试卷

考试时间: 150分钟

一. 填空题 (每题 4 分，共 20 分)

1. 交换积分次序:

   (注：根据上下文补全了原文档中模糊的下标)

2. 幂级数  的收敛域是 。

3. 由  确定的隐函数  的全微分  *(答案较长，文档未完整显示)*。

4. 设 C 是正向圆周  ,则积分  *(答案未显示)*。

5. 函数  在点 M(1,2,-1) 处的梯度 。

二. 单项选择题 (每题 4 分, 共 16 分)

1. 已知  ,则  ( C )

2. 下列级数中绝对收敛的是 ( C )

3. 设 C 是从 B(2,0) 经 A(1,-1) 到 O(0,0) 的有向折线, 则曲线积分 的值等于 ( B ) (A) 5 (B) 4 (C)-3 (D)-5

4. 函数  在奇点  处的留数  ( D )

三. (每题 7 分, 共 35 分)

1. 设  ,其中 f 具有二阶连续偏导数,求  .

2. 设隐函数  由方程  所确定, 其中  具有一阶连续偏导数,求  .

3. 计算二重积分:  ,其中 。答案:

4. 求三重积分  ,其中 。答案:(计算较繁)

5. 求  , 其中  ,其方向与 z 轴正向成右手系。答案:

四. 级数展开 (共 15 分)

1. (6分) 将函数  展成  的幂级数,并给出收敛域。

2. (9分) 将函数  在  上展成余弦级数。答案:

五. (7 分) 计算第二型曲面积分

其中  为曲面  的上侧。答案:

六. (6 分) 求曲面距离

求曲面  与平面  之间的最短距离。

七. (6 分) 证明题

证明: 其中  为球面  。