厦门一中双十拔尖线上考试真题和同类题

一、单选题（共 10 题，每题 5 分，共 50 分）

第1题（5分）

6 年前，父亲的年龄是儿子的 5 倍；6 年后，父亲的年龄是儿子的 3 倍。儿子今年多少岁？

A. 15

B. 18

C. 21

D. 24

第2题（5分）

有标着 1，2，3，4，5，6 的 6 张数字卡片，每次取两张不同的卡片，分别作为十位和个位，组成一个两位偶数。一共可以组成多少个不同的两位偶数？

A. 8

B. 12

C. 15

D. 18

第3题（5分）

在下图中，55 个单位立方体被堆叠在一起。将这堆正方体的表面涂色，但与地面接触的底面不涂色。请问将这堆正方体拆开后，共有多少个完全未被涂色的单位正方体？

A. 6

B. 9

C. 13

D. 14

E. 18

第4题（5分）

小明从甲地到乙地，前一半路程的速度是每小时 12 千米，后一半路程的速度是每小时 18 千米。全程的平均速度是多少？

A. 每小时 13.5 千米

B. 每小时 14.4 千米

C. 每小时 14 千米

D. 每小时 15 千米

第5题（5分）

把下面 7 个图形作为一组，按原顺序不断重复排列：

A. ○

B. ★

C. □

D. △

从第 1 个图形开始计数，第 2026 个图形是哪一个？

第6题（5分）

将 4 个边长均为 5 cm 且互不重叠的相同正方形，拼成了如下图所示的新图形。求这个新图形的周长。

A. 15

B. 20

C. 30

D. 45

E. 50

第7题（5分）

在 1，2，3，…，200 中，正因数个数为偶数的数有多少个？

A. 14

B. 180

C. 186

D. 196

第8题（5分）

从 1，2，3，…，9 中等可能地任取两个不同的数，这两个数的乘积是 6 的倍数的概率是多少？

A. 7/36

B. 1/3

C. 7/18

D. 4/9

第9题（5分）

如图所示一个带有三个障碍物的 6×6 棋盘。一只蚂蚁在左上角，想要到达右下角，它只能在共用一条边的方格之间爬行，并且只能向下或向右爬行。它不能跨过任何障碍物。请问它共有多少条不同的路径可以走？

A. 88

B. 90

C. 92

D. 96

E. 112

第10题（5分）

把正整数 100 写成两个或两个以上正整数之和。在所有写法中，各加数乘积的最大值是多少？

A. 2⁵⁰

B. 5²⁰

C. 2×3³³

D. 4×3³²

二、填空题（共 5 题，每题 5 分，共 25 分）

第11题（5分）

袋中有 3 个红球和 2 个白球，除颜色外完全相同。从中不放回地随机取出 2 个球。将至少取到 1 个红球的概率化为最简分数后，分子与分母的和是________。

第12题（5分）

1！+ 2！+ 3！+ … + 2026！除以 15 的余数是________。

第13题（5分）

将四个相同的棋子放入如下图所示黑白相间的 4×4 棋盘中。每个方格最多只能放置一个棋子。所有棋子必须放置在相同颜色的方格中，并且任意两个棋子不能处于同一行或同一列。请问共有多少种不同的放置方法？

第14题（5分）

不超过 2026 且与 2026 互质的正整数共有________个。

第15题（5分）

参考下图，图中展示了一卷圆柱形的卷筒卫生纸，中间部分由空心纸板卷筒组成。卫生纸被分成若干节，卷在纸板上。包装上标明：“每节 138 mm × 100 mm，3 层”，这意味着每节长 138 mm，宽 100 mm，且包含 3 层。已知单层卫生纸的厚度为 0.13 mm，纸板筒的直径为 5 cm，整卷卫生纸的直径为 12 cm，请问这一卷中大约有多少节卫生纸（结果四舍五入到整数）？（取 π = 3.14）

三、综合题（共 3 题，每题 15 分，共 45 分）

第16题（15分）

在 3000 多年前的古埃及，有一份著名的数学文献《莱因德数学纸草书》。考古学家发现，古埃及人对分数有一种奇特的“强迫症”——他们极其偏爱分子为 1 的分数（例如 1/2、1/3、1/4……），我们现在称之为“古埃及分数”。在古埃及人的账本里，任何一个真分数，都必须拆分成几个“古埃及分数”相加的形式。为了完成这种拆分，古埃及人大概定下了两条极其严格的铁律：铁律 1：拆分出来的所有分数，分子必须全都是 1。铁律 2：拆分出来的分数，分母绝对不能重复！（例如：把 2/5 写成 1/5 + 1/5 是犯法的，因为分母重复了！）

聪明的大祭司发明了一个“魔法拆分公式”。他们发现，任何一个分子为 1 的分数，都可以裂变成两个更小的、且分母不同的古埃及分数。公式如下：

1/n = 1/(n+1) + 1/(n×(n+1))

（注：n 代表任何一个非零自然数）【魔法演示】假设我们要拆分 1/3（此时公式里的 n = 3）：

1/3 = 1/(3+1) + 1/(3×(3+1))，即 1/3 = 1/4 + 1/12。

你看！1/3 成功变成两个不同的古埃及分数相加，并且验证一下：1/4 + 1/12 = 3/12 + 1/12 = 4/12 = 1/3，完全正确！

第16题-(1)小题（5分）

古埃及法老要求把 3/4 块黄金分给大臣。以下四位学者的拆分方案中，哪一个完全符合古埃及分数的“两条铁律”？

A. 3/4 = 1/4 + 1/4 + 1/4

B. 3/4 = 1/2 + 1/4

C. 3/4 = 2/4 + 1/4

D. 3/4 = 1/3 + 1/3 + 1/12

第16题-(2)小题（5分）

请你模仿材料中的“魔法拆分公式”，把 1/6 拆分成两个不同的古埃及分数相加：

1/6 = 1/（　）+ 1/（　）

（注意：请在括号内填入适当的纯数字，且要求第一个括号里的数字比第二个括号里的数字小）请问第二个括号里应该填写的数字是？

第16题-(3)小题（5分）

前面提到，古埃及人不能把 2/5 直接写成 1/5 + 1/5。现在，请你利用刚刚学到的所有知识，帮古埃及人把 2/5 拆分成三个完全不同的古埃及分数相加：

2/5 = 1/（　）+ 1/（　）+ 1/（　）

（提示：你可以先暂时把它写成 1/5 + 1/5，然后对其中一个 1/5 使用魔法拆分公式！请按照数字从小到大的顺序填写分母）请问最后一个空应该填写几？

第17题（15分）

如图 1 所示，考虑在边长为 1 cm 的正六边形 ABCDEF 内部沿直线运动的点 P 的轨迹。当点 P 到达边界（边）时，会如图 2 所示发生反弹（注：入射角等于反射角）。但是，若点 P 恰好到达正六边形的顶点，则会在该顶点处停止运动。现已知点 P 从顶点 A 出发，且其轨迹的第一次反弹发生在边 CD 上的某一点。请根据上述规则回答以下问题：

第17题-(1)小题（5分）

在边 CD 上完成第一次反弹后，点 P 接下来可能到达的边有哪些？

A. 边 AB 和边 BC

B. 边 BC 和边 DE

C. 边 AF 和边 EF

D. 边 AB 和边 AF

第17题-(2)小题（5分）

若点 P 首先在边 CD 上的点 X 处发生反弹，在接下来到达的边上又发生了 1 次反弹（共反弹 2 次），最终恰好到达了顶点 D。求线段 CX 的长度。

A. 1/4 cm

B. 1/3 cm

C. 1/2 cm

D. 2/3 cm

第17题-(3)小题（5分）

若点 P 首先在边 CD 上的点 Y 处发生反弹，接着又连续发生了 2 次反弹（共反弹 3 次），最终恰好到达了顶点 D。求线段 CY 的长度。

A. 3/5 cm

B. 4/7 cm

C. 5/7 cm

D. 5/8 cm

第18题（15分）

袋子里装写着数字 1、2、3 的卡片各若干张。每次从袋子中随机抽取 1 张卡片，确认上面的数字后，再将卡片放回袋中。按照抽出卡片上的数字，在方格地图上前进相应的步数。从“起点”出发，重复此抽卡前进的操作，请回答以下问题：（编者注：方格地图为从“起点”起依次排开的一行方格，即第 1 格、第 2 格、……、第 10 格。）

第18题-(1)小题（5分）

若终点设定为第 4 格，恰好停在第 4 格的走法共有多少种？（　）

A. 4

B. 6

C. 7

D. 8

第18题-(2)小题（5分）

若终点设定为图中的第 10 格，恰好停在第 10 格的走法共有多少种？（仅填写数字）

第18题-(3)小题（5分）

在第 2 问（走到第 10 格）的所有走法中，要求中途必须恰好停在第 6 格，符合条件的走法共有多少种？（仅填写数字）

参考答案与解析（重组版：速查表 → 分板块深度解析 → 套路对照表）

使用说明：先用速查表对答案；做错的题按下方“板块”找到对应讲解——每题按“破题关键 → 推演过程 → 一点通”三段展开；最后用卷尾的套路对照表把题型和方法挂上钩。

◆ 答案速查表

◆ 分板块深度解析

板块一　代数与方程应用（第 1、4、10 题）

本板块的共同武器是“把文字条件翻译成数学结构”：年龄问题靠不变量列方程，平均速度靠总量守恒，最大乘积靠局部替换定型。

第1题　年龄·方程组　难度 ★★

答案：B

破题关键：父子年龄差永远不变。把两个时刻的倍数关系都拉到“同一时刻”列式，再用年龄差消元。

① 设儿子今年 x 岁、父亲今年 y 岁。6 年前：y − 6 = 5(x − 6)；6 年后：y + 6 = 3(x + 6)。

② 分别整理得 y = 5x − 24 与 y = 3x + 12。两式相减消去 y：2x = 36，所以 x = 18。

③ 回代检验：父亲今年 66 岁。6 年前 60 = 5 × 12，6 年后 72 = 3 × 24，两条条件全部吻合，选 B。

一点通：年龄问题的“定海神针”是年龄差不变——跨时刻的条件先统一时刻再列方程。

第4题　平均速度　难度 ★★★

答案：B

破题关键：平均速度 = 总路程 ÷ 总时间，绝不是两段速度的算术平均；等路程两段要用调和平均。

① 设前后两段路程各为 36 千米。前段用时 36 ÷ 12 = 3 小时，后段用时 36 ÷ 18 = 2 小时。

② 总路程 72 千米，总时间 5 小时。

③ 平均速度 = 72 ÷ 5 = 14.4 千米/小时，选 B。

一点通：想套“（12 + 18）÷ 2 = 15”就正中出题人下怀——慢的那段耗时更长，答案必然偏向慢速。

第10题　和的最大乘积　难度 ★★★★

答案：D

破题关键：不急着算，先用“局部替换”逼出最优结构：最优写法里不许有 1，加数只留 2 和 3，且 2 至多两个。

① 有加数 1？把两个 1 合成 2，乘积从 1 变 2，更优——所以 1 不能出现。

② 有加数 m ≥ 5？拆成 3 与 m − 3，新乘积 3(m − 3) > m，更优——所以加数只可能是 2、3（4 相当于 2 + 2）。

③ 三个 2（乘积 8）不如两个 3（乘积 9），所以 2 至多两个。

④ 由 100 = 3 × 32 + 4，最优写法为 32 个 3 加两个 2，最大乘积 4 × 3³²，选 D。

一点通：先证结构、再给构造——这是“最值证明题”的标准两段式，缺一不可。

板块二　排列组合与概率（第 2、8、11 题）

计数题的三板斧：先定口径（有序还是无序），再定分类或补集策略，最后老老实实清点。

第2题　受限位计数　难度 ★★★

答案：C

破题关键：个位是限制最死的位置（必须是偶数），先伺候它，再安排十位。

① 个位只能从 2、4、6 中选，共 3 种。

② 个位用掉一张卡后，十位从剩余 5 张中任选，共 5 种。

③ 乘法原理：3 × 5 = 15 个，选 C。

一点通：多位数计数口诀：先固定受限制的位，再放其余位。

第8题　概率·数对清点　难度 ★★★★

答案：C

破题关键：取数不分先后，按“无序数对”计数；分子分母必须同一口径。

① 总数：从 9 个数中取 2 个，C(9,2) = 36 对。

② 逐一清点乘积是 6 的倍数的数对：(1,6)、(2,3)、(2,6)、(2,9)、(3,4)、(3,6)、(3,8)、(4,6)、(4,9)、(5,6)、(6,7)、(6,8)、(6,9)、(8,9)，共 14 对。

③ 概率 = 14/36 = 7/18，选 C。

一点通：概率计数的分子分母若一个按有序、一个按无序，必错无疑——先定口径再动手。

第11题　概率·补集　难度 ★★★

答案：19

破题关键：“至少一个红球”正面分类要算两种情况，反面（两球全白）只需一步。

① 从 5 个球中取 2 个，等可能结果 C(5,2) = 10 种。

② 全白的取法只有 C(2,2) = 1 种。

③ 至少一个红球的概率 = 1 − 1/10 = 9/10，已是最简分数，分子分母之和为 9 + 10 = 19。

一点通：见到“至少”先想补集；算完概率还要回头看题目最后要什么——这里是分子加分母。

板块三　几何与空间（第 3、6、9、13、15 题）

立体图降维成平面图，不规则图平移成规则图，缠绕体摊开算体积——几何题的通用降维打击。

第3题　涂色剥离·剥洋葱　难度 ★★

答案：D

破题关键：底面不涂色是本题唯一的“慈悲”。四周涂色不影响剥法：每层剥掉暴露的一圈，内部剩 (n−2)² 个。

① 从上往下分 5 层，每层俯视都是一个实心正方形阵列；剥去外围一圈后边长各减 2。

② 逐层清点：第 1 层 0 个，第 2 层 0 个，第 3 层 (3−2)² = 1 个，第 4 层 (4−2)² = 4 个。

③ 第 5 层（最底层）：四周外围被涂色，但“底面不涂色”不改变侧向剥法，内部剩 (5−2)² = 9 个。

④ 合计 0 + 0 + 1 + 4 + 9 = 14 个，选 D。

一点通：涂色剥离问题记公式 (n−2)²，逐层相加；“不涂色的保护面”只影响描述、不影响剥侧圈的算法。

第6题　周长·线段平移　难度 ★★

答案：E

破题关键：凹凸图形的周长不凹不凸——把内凹的边推出去，周长就等于最小外接矩形的周长。

① 图形横跨 3 个正方形，宽 5 × 3 = 15 cm；中间区域竖叠 2 个，高 5 × 2 = 10 cm。

② 平移所有内凹线段后，周长 = 外接矩形周长 = (15 + 10) × 2 = 50 cm，选 E。

一点通：“线段平移法”是不规则拼接图形周长的万能钥匙。

第9题　网格路径·过墙分类　难度 ★★★

答案：A

破题关键：任何路径只能在第 2、3 列之间“过一次墙”。以过墙发生在第 3 行还是第 4 行分类，把大棋盘切成前后两段。

① 情况一（第 3 行过墙）：过墙前从 (1,1) 到 (3,2) 需 2 下 1 右，C(3,1) = 3 种。

② 过墙后从 (3,3) 到 (6,6) 名义上有 C(6,3) = 20 种，其中撞墙③的恰 4 种（必先在第 3 行走到 (3,5)，剩 3 下 1 右共 C(4,1) = 4 条且全部先撞墙③），扣掉得 16 种。乘法原理：3 × 16 = 48。

③ 情况二（第 4 行过墙）：过墙前 (1,1) 到 (4,2) 为 C(4,1) = 4 种；过墙后已在 (4,3)，墙②在下方不会再撞，(4,3) 到 (6,6) 为 C(5,2) = 10 种。共 4 × 10 = 40。

④ 两类互斥且穷尽：48 + 40 = 88 条，选 A。

一点通：带障碍的网格路径两手抓：格数法（每格 = 上格 + 左格）或“过墙分类 + 组合数扣除”，本质都是加法原理。

第13题　棋盘放置·分类分步　难度 ★★★

答案：8

破题关键：颜色定大类，行列定配对：同色棋子里第 1、3 行互相牵制，第 2、4 行互相牵制，两组之间互不干扰。

① 全放黑格：每行恰 2 个黑格。第 1 行 2 选 1 后，第 3 行只剩不同列的那 1 格，共 2 × 1 = 2 种；同理第 2、4 行 2 种。乘法原理：2 × 2 = 4 种。

② 全放白格：棋盘黑白完全对称，同样 4 种。

③ 加法原理合并：4 + 4 = 8 种。

一点通：双重限制题先分类再分步；发现对称结构，一半答案直接白拿。

第15题　缠绕体·体积守恒　难度 ★★★

答案：174

破题关键：卷在筒上的纸摊开后体积不变——“卷着算、摊开算”搭桥；动手前先统一单位。

① 纸张总体积：3.14 × 6² × 10 − 3.14 × 2.5² × 10 = 1130.4 − 196.25 = 934.15 cm³。

② 单节体积：138 mm = 13.8 cm，单层厚 0.013 cm，3 层即 10 × 13.8 × 0.013 × 3 = 5.382 cm³。

③ 总节数 = 934.15 ÷ 5.382 ≈ 173.57，四舍五入为 174 节。

一点通：单位混用（cm 与 mm）是本题最大的陷阱——缠绕类应用题的第一步永远是统一量纲。

板块四　新定义与抽象建模（第 5、16、17、18 题）

新定义题不考巧劲，考“完全按规则办事”：公式题对号入座，反射题镜像拉直，递推题先铺前几格。

第5题　周期定位　难度 ★★★

答案：D

破题关键：把 7 个图形看作一个周期，用序号除以周期长度后的余数定位。

① 图形每 7 个重复一次。

② 2026 = 7 × 289 + 3，余数为 3。

③ 每组第 3 个图形是 △，选 D。

一点通：周期题三步走：定周期、求余数、对号入座——余 0 才对应周期末位。

第16题-(1)　定义检验　难度 ★★

答案：B

破题关键：拿“分子全为 1、分母不重复”两条铁律当筛子，逐项过滤。

① A：分母 4 重复三次，违反铁律 2，排除。

② B：1/2 + 1/4，分子全为 1，分母 2 与 4 不重复，两条铁律全过。

③ C：2/4 分子不是 1，违反铁律 1；D：分母 3 重复，违反铁律 2。选 B。

一点通：新定义选择题不需要巧劲，把定义当过滤器逐项排查即可。

第16题-(2)　公式代入　难度 ★★★

答案：42

破题关键：直接代公式，确认 n = 6。

① 公式 1/n = 1/(n+1) + 1/(n×(n+1))，令 n = 6。

② 两个分母分别为 6 + 1 = 7 与 6 × 7 = 42。

③ 按从小到大填 7 和 42，第二个括号填 42。

一点通：新定义公式题的第一步永远是“对号入座”——确认公式里的字母等于几。

第16题-(3)　先分后变　难度 ★★★

答案：30

破题关键：先“违章”拆成 1/5 + 1/5，再把其中一个合法化。

① 2/5 = 1/5 + 1/5（分母暂时重复）。

② 对第二个 1/5 使用公式（n = 5）：1/5 = 1/6 + 1/30。

③ 合并：2/5 = 1/5 + 1/6 + 1/30，分母从小到大为 5、6、30，最后一个空填 30。

一点通：“先分后变”：先粗暴拆分制造重复，再对局部做等量替换消掉重复。

第17题-(1)　镜面反射·扇形范围　难度 ★★

答案：C

破题关键：把边 CD 当镜子，从起点 A 的镜像 A′ 拉直光束，看扇形能扫到哪些边。

① 对角线 AC 与 CD 恰好垂直（120° − 30° = 90°），把 CD 当镜面翻折，A′ 正好落在 A→C 连线的延长线上。

② 从 A′ 射向 CD 的光束：擦 C 端射出时沿 A′→C 直达顶点 A；擦 D 端射出时沿 A′→D 的延长线恰好命中顶点 E。

③ 扇形范围被限制在顶点 A 与 E 之间，只能打在边 AF 和 EF 上，选 C。

一点通：折线反射 = 镜像拉直；光束两端的极值由“擦边光线”确定。

第17题-(2)　反射·镜像翻折求长度　难度 ★★★

答案：B

破题关键：反弹 2 次 = 翻折 2 层镜像；垂直“楼层比”等于水平“截距比”。

① 终点 D 连翻 2 层镜像得 D₂，位于镜面下方 2 层；起点 A 在镜面上方 1 层。

② 连直线 AD₂ 交 CD 于 X，垂直落差比 1 : 2。

③ 相似传递到水平方向：CX : XD = 1 : 2，CD = 1 cm，故 CX = 1/3 cm，选 B。

一点通：“楼层比 = 截距比”——反弹几次就翻折几层，一次连线收工。

第17题-(3)　反射·多次翻折　难度 ★★★

答案：C

破题关键：翻 3 层镜像找 D₃，量出总水平宽与总垂直落差，一个比例搞定。

① D 翻折 3 次得 D₃：借助六边形密集网格，D₃ 相对 C 水平偏移 2.5 个边长，位于镜面下方 2.5 层，垂直总落差 1 + 2.5 = 3.5 层。

② 直线 AD₃ 过镜面前走了垂直方向的 1/3.5 = 2/7。

③ 水平同理：CY = 2.5 × 2/7 = 5/7 cm，选 C。

一点通：反弹再多次也是同一招——锁定最终镜像点的“总水平宽、总垂直落差”，单一比例算式求解。

第18题-(1)　递推·铺前几格　难度 ★★

答案：C

破题关键：到第 n 格的走法数 = 到它前一、二、三格走法数之和。先手工铺出前四格。

① W(1) = 1（只走 1）；W(2) = 2（1+1 或直接 2）；W(3) = 1 + 1 + 2 = 4（含起点直接跨 3）。

② W(4) = W(1) + W(2) + W(3) = 1 + 2 + 4 = 7，选 C。

一点通：递推题先手工铺前几格，确认转移方程没错，再往后跑。

第18题-(2)　递推·逐项累加　难度 ★★★

答案：274

破题关键：沿用 W(n) = W(n−1) + W(n−2) + W(n−3)，从 1、2、4、7 往后逐项相加。

① W(5) = 2 + 4 + 7 = 13，W(6) = 4 + 7 + 13 = 24，W(7) = 7 + 13 + 24 = 44。

② W(8) = 13 + 24 + 44 = 81，W(9) = 24 + 44 + 81 = 149，W(10) = 44 + 81 + 149 = 274。

一点通：三阶递推别硬枚举——让递推表替你数，边算边核对上一项。

第18题-(3)　必经点切分　难度 ★★★

答案：168

破题关键：在必经点第 6 格把路径剪成两段独立的子问题。

① 前段：起点到第 6 格，W(6) = 24 种。

② 后段：第 6 格到第 10 格跨度 4 格，与从头走 4 格完全等价，W(4) = 7 种。

③ 分步乘法原理：24 × 7 = 168 种。

一点通：“中途必须停在 X”型题的标配动作——在 X 处剪断，分段计数再相乘。

板块五　数论与整除逻辑（第 7、12、14 题）

数论三板斧：配对降维（因数奇偶）、找齐备点截断（阶乘求模）、分解后容斥（互质计数）。

第7题　因数奇偶·平方数　难度 ★★★★

答案：C

破题关键：因数成双成对出现，只有完全平方数的平方根会“落单”和自己配对。

① 若 m 不是完全平方数，因数 d 与 m/d 一一配对，因数个数为偶数；完全平方数恰有一个 √m 自配对，个数为奇数。

② 不超过 200 的完全平方数：1² 到 14²（14² = 196 < 200 < 225 = 15²），共 14 个。

③ 因数个数为偶数的数 = 200 − 14 = 186 个，选 C。

一点通：因数个数的奇偶问题，一句话归约为“数完全平方数”。

第12题　阶乘求模　难度 ★★★★

答案：3

破题关键：从 5! 起每个阶乘都含因子 15，后面整段余数全为 0，只需算前四项。

① 对任意 m ≥ 5，m! 含因子 3 × 5 = 15，故 m! 除以 15 余 0。

② 原和与前四项之和同余：1! + 2! + 3! + 4! = 1 + 2 + 6 + 24 = 33。

③ 33 除以 15 的余数为 3。

一点通：阶乘求模——找到“各质因子首次齐备”的位置截断，天文数字瞬间变短。

第14题　互质计数·容斥　难度 ★★★★

答案：1012

破题关键：分解 2026 = 2 × 1013，把“不互质的数”用容斥排除掉。

① 验证 1013 是质数：√1013 < 32，逐一试除不超过 31 的质数 3、5、7、11、13、17、19、23、29、31，均除不尽。

② 不互质的数 = 2 的倍数或 1013 的倍数：偶数 1013 个、1013 的倍数 2 个、公共的只有 2026 一个，容斥得 1013 + 2 − 1 = 1014 个。

③ 所求 = 2026 − 1014 = 1012 个。

一点通：互质计数三步：分解质因数、容斥数倍数、总数相减。

◆ 题型套路对照表（真题 + 同类题）

第二部分　同类题模拟卷（仿照真题题型与难度编制）

覆盖五大板块：代数与方程应用 · 排列组合与概率 · 几何与空间 · 新定义与抽象建模 · 数论与整除逻辑

一、单选题（共 6 题，每题 5 分，共 30 分）

第1题（5分）

4 年前，父亲的年龄是儿子的 6 倍；4 年后，父亲的年龄是儿子的 4 倍。儿子今年多少岁？

A. 14

B. 16

C. 18

D. 20

第2题（5分）

有标着 1，2，3，4，5，6，7 的 7 张数字卡片，每次取两张不同的卡片，分别作为十位和个位，组成一个两位奇数。一共可以组成多少个不同的两位奇数？

A. 20

B. 24

C. 28

D. 30

第3题（5分）

小明从甲地到乙地，前一半路程的速度是每小时 12 千米，后一半路程的速度是每小时 24 千米。全程的平均速度是多少？

A. 每小时 16 千米

B. 每小时 17 千米

C. 每小时 18 千米

D. 每小时 18.5 千米

第4题（5分）

把下面 4 个图形作为一组，按原顺序不断重复排列：○、□、△、★。从第 1 个图形开始计数，第 2028 个图形是哪一个？

A. ○

B. □

C. △

D. ★

第5题（5分）

在 1，2，3，…，100 中，正因数个数为奇数的数有多少个？

A. 8

B. 9

C. 10

D. 12

第6题（5分）

从 1，2，3，…，8 中等可能地任取两个不同的数，这两个数的乘积是 4 的倍数的概率是多少？

A. 1/4

B. 1/3

C. 1/2

D. 5/9

二、填空题（共 4 题，每题 5 分，共 20 分）

第7题（5分）

将 5 个边长均为 2 cm 且互不重叠的相同正方形拼成一个“十字形”（中间 1 个，上、下、左、右各 1 个）。这个十字形的周长是________cm。

第8题（5分）

袋中有 4 个红球和 2 个白球，除颜色外完全相同。从中不放回地随机取出 2 个球。将至少取到 1 个红球的概率化为最简分数后，分子与分母的和是________。

第9题（5分）

不超过 100 且与 100 互质的正整数共有________个。

第10题（5分）

把正整数 20 写成两个或两个以上正整数之和。在所有写法中，各加数乘积的最大值是________。

三、综合题（共 3 题，每题 3 个小题，每小题 5 分，共 45 分）

第11题（15分）

在古埃及分数的基础上，大祭司又发明了一个“升级版魔法拆分公式”：

1/n = 1/(n+2) + 2/(n×(n+2))

（注：n 代表任何一个非零自然数）【魔法演示】拆分 1/3（此时 n = 3）：

1/3 = 1/5 + 2/15，验证：1/5 + 2/15 = 3/15 + 2/15 = 5/15 = 1/3，完全正确！

注意：升级版公式拆分出来的第二个分数分子不要求是 1，但分母绝对不能重复！

第11题-(1)小题（5分）

利用升级版公式拆分 1/4：1/4 = 1/（　）+ 2/（　）。第二个括号里的数化成最简分数后，分母是多少？

第11题-(2)小题（5分）

利用升级版公式拆分 1/5：1/5 = 1/（　）+ 2/（　）。请把 2/（　）化成最简分数，然后求两个分母之和。

第11题-(3)小题（5分）

古埃及人不能把 1/2 写成 1/4 + 1/4（分母重复）。请你先把 1/2 写成 1/3 + 1/6，再对 1/6 使用升级版公式，把 1/2 拆分成三个分母互不相同的分数相加。请按照分母从小到大的顺序写出这三个分母。

第12题（15分）

袋子里装写着数字 1、2 的卡片各若干张。每次从袋子中随机抽取 1 张卡片，确认上面的数字后，再将卡片放回袋中。按照抽出卡片上的数字，在一排台阶式方格地图上前进相应的步数。从“起点”出发，重复此抽卡前进的操作，请回答以下问题：

第12题-(1)小题（5分）

若终点设定为第 4 级，恰好停在第 4 级的走法共有多少种？（　）

A. 4

B. 5

C. 6

D. 7

第12题-(2)小题（5分）

若终点设定为第 10 级，恰好停在第 10 级的走法共有多少种？（仅填写数字）

第12题-(3)小题（5分）

在第 2 问（走到第 10 级）的所有走法中，要求中途必须恰好停在第 5 级，符合条件的走法共有多少种？（仅填写数字）

第13题（15分）

一列数按如下规则生成：第 1 个数是 2，之后每个数都等于前一个数的 2 倍加 1，即 2，5，11，23，47，……

第13题-(1)小题（5分）

直接写出这列数的第 6 个数。

第13题-(2)小题（5分）

说明这列数中任何一个数除以 3 都余 2。

第13题-(3)小题（5分）

说明这列数中不存在完全平方数。

同类题参考答案与解析（重组版）

◆ 答案速查表

◆ 分板块深度解析

板块一　代数与方程应用（第 1、3、10 题）

与真题同源：年龄差不变、总量守恒、局部替换定型，三招走遍代数应用题。

第1题　年龄·方程组　难度 ★★

答案：B

破题关键：抓住年龄差不变，把两个时刻的倍数关系写成方程组。

① 设儿子今年 x 岁、父亲今年 y 岁：y − 4 = 6(x − 4)，y + 4 = 4(x + 4)。

② 整理得 y = 6x − 20 与 y = 4x + 12，相减得 2x = 32，x = 16。

③ 检验：儿子 16 岁、父亲 76 岁；4 年前 12 与 72（恰 6 倍），4 年后 20 与 80（恰 4 倍）。选 B。

一点通：把跨时刻条件拉到同一时刻列式，用不变量消元。

第3题　平均速度　难度 ★★★

答案：A

破题关键：等路程两段用调和平均，不能用速度的算术平均。

① 设前一半路程为 36 千米：前段用时 36 ÷ 12 = 3 小时，后段用时 36 ÷ 24 = 1.5 小时。

② 总路程 72 千米，总时间 4.5 小时，平均速度 = 72 ÷ 4.5 = 16 千米/小时，选 A。

③ 观察：16 = 2 × 12 × 24 ÷ (12 + 24)，正是调和平均；若误用 (12 + 24) ÷ 2 = 18 即中计。

一点通：平均速度只由总路程与总时间决定。

第10题　和的最大乘积　难度 ★★★★

答案：1458

破题关键：仿照真题的局部替换论证定型：无 1、只留 2 和 3、2 至多两个。

① 最优写法中没有加数 1；加数只取 2、3（4 可拆成 2 + 2）；三个 2 的乘积 8 小于两个 3 的乘积 9，故 2 至多两个。

② 由 20 = 3 × 6 + 2，最优写法为 6 个 3 和 1 个 2。

③ 最大乘积 = 2 × 3⁶ = 2 × 729 = 1458。

一点通：先按除以 3 的余数定结构，再代入计算。

板块二　排列组合与概率（第 2、6、8 题）

先定口径，再分类或取补集——与真题同款三连。

第2题　受限位计数　难度 ★★★

答案：B

破题关键：先固定受限制的个位（必须是奇数），再安排十位。

① 个位只能从 1、3、5、7 中选，共 4 种。

② 十位从剩余 6 张卡片中任选，共 6 种。

③ 乘法原理：4 × 6 = 24 个，选 B。

一点通：先固定受限制的位置，再安排其余位置。

第6题　概率·分类计数　难度 ★★★★

答案：C

破题关键：按无序数对计数，用“是否含 4 的倍数”分类。

① 总数：C(8,2) = 28 对。

② 两个都是偶数：从 2、4、6、8 中取，C(4,2) = 6 对。

③ 一个奇数配一个 4 的倍数（4 或 8）：4 × 2 = 8 对。

④ 合计 6 + 8 = 14 对，概率 = 14/28 = 1/2，选 C。

一点通：分类要互斥穷尽——两偶与“奇×4 倍数”不重不漏地盖住全部情形。

第8题　概率·补集　难度 ★★★

答案：29

破题关键：“至少一个红球”的补事件是“两球全白”。

① 总数：C(6,2) = 15 种。

② 全白：C(2,2) = 1 种。

③ 至少一个红球的概率 = 1 − 1/15 = 14/15，已是最简分数，分子分母之和为 14 + 15 = 29。

一点通：“至少”事件优先检查补集是否更短。

板块三　几何与空间（第 7 题）

不规则拼图的周长，照例用线段平移降维。

第7题　周长·平移/数边　难度 ★★

答案：24

破题关键：十字形有两种等价算法：数外露边，或平移成外接正方形。

① 方法一（数边）：每个“臂”上的正方形有 3 条边外露，中心正方形 4 条边全被贴住。外露 4 × 3 = 12 条边，周长 = 12 × 2 = 24 cm。

② 方法二（平移）：所有内凹边向外推，周长等于外接边长 6 cm 正方形的周长 6 × 4 = 24 cm。

一点通：两种算法互为验算——数出来的和推出来的必须一致。

板块四　新定义与抽象建模（第 4、11、12、13-(1) 题）

公式题对号入座，递推题先铺前几格——与真题 5、16、18 一脉相承。

第4题　周期定位　难度 ★★★

答案：D

破题关键：4 个图形一周期，用余数定位。

① 2028 ÷ 4 = 507 余 0，余数为 0 对应周期末位。

② 即第 4 个图形 ★，选 D。

一点通：余 0 是周期题唯一的“特殊对号”——别忘了它对应末位。

第11题-(1)　公式代入·化简　难度 ★★★

答案：12

破题关键：令 n = 4 代入升级版公式，再把第二个分数约成最简。

① 1/4 = 1/(4+2) + 2/(4×6) = 1/6 + 2/24。

② 2/24 化简为 1/12，所以最简分母是 12。

③ 验证：1/6 + 1/12 = 2/12 + 1/12 = 3/12 = 1/4，正确。

一点通：升级版公式第二个分数的分子是 2，算完分母别忘了约分。

第11题-(2)　公式代入·求和　难度 ★★★

答案：42

破题关键：令 n = 5，求出两个分母后相加。

① 1/5 = 1/7 + 2/35，2/35 已是最简分数。

② 两个分母为 7 和 35，其和为 7 + 35 = 42。

一点通：看清题目最后一步：这里要的是“分母之和”，不是分母本身。

第11题-(3)　先分后变　难度 ★★★

答案：3、8、24

破题关键：按提示先拆成 1/3 + 1/6，再对 1/6 使用升级版公式。

① 第一步：1/2 = 1/3 + 1/6，分母不重复。

② 第二步对 1/6 用公式（n = 6）：1/6 = 1/8 + 2/48 = 1/8 + 1/24。

③ 合并：1/2 = 1/3 + 1/8 + 1/24。验证：8/24 + 3/24 + 1/24 = 12/24 = 1/2，三个分母 3、8、24 互不相同，从小到大即 3、8、24。

一点通：合并后务必验证总和等于原分数、且分母两两不同——两条铁律一个都不能破。

第12题-(1)　递推·铺前几级　难度 ★★

答案：B

破题关键：每次跨 1 或 2 级，到第 n 级 = 前两级之和。

① W(1) = 1；W(2) = 2（1+1 或直接跨 2）。

② W(3) = W(2) + W(1) = 3；W(4) = W(3) + W(2) = 5。选 B。

一点通：台阶数比卡片数少一阶——先看清“每次能跨几级”再定方程。

第12题-(2)　递推·斐波那契型　难度 ★★★

答案：89

破题关键：沿 W(n) = W(n−1) + W(n−2) 逐项递推到第 10 级。

① W(5) = 8，W(6) = 13，W(7) = 21，W(8) = 34，W(9) = 55，W(10) = 89。

② 恰好停在第 10 级共 89 种走法。

一点通：递推数列就是斐波那契型——逐项累加，别跳步。

第12题-(3)　必经点切分　难度 ★★★

答案：64

破题关键：在第 5 级处剪成两段独立子路径。

① 前段：起点到第 5 级，W(5) = 8 种。

② 后段：第 5 级到第 10 级跨度 5 级，与从头走 5 级等价，W(5) = 8 种。

③ 分步乘法：8 × 8 = 64 种。

一点通：在必经点剪断、分段相乘——与真题 18-(3) 完全同构。

第13题-(1)　递推数列·逐项写　难度 ★★

答案：95

破题关键：按“后一个数 = 前一个数 × 2 + 1”逐项推。

① a₁ = 2，a₂ = 5，a₃ = 11，a₄ = 23，a₅ = 47，a₆ = 2 × 47 + 1 = 95。

② 也可由通项 aₙ = 3 × 2ⁿ⁻¹ − 1 计算：a₆ = 3 × 32 − 1 = 95。

一点通：递推数列先逐项写，再观察规律归纳通项。

板块五　数论与整除逻辑（第 5、9、13-(2)(3) 题）

平方数计数、容斥、取模找矛盾——数论题的三个常见出口。

第5题　因数奇偶·平方数　难度 ★★★★

答案：C

破题关键：因数个数为奇数的数恰为完全平方数。

① 不超过 100 的完全平方数：1² 到 10²，共 10 个。选 C。

一点通：与真题第 7 题互为正反两问——因数奇偶问题都归结为数平方数。

第9题　互质计数·容斥　难度 ★★★★

答案：40

破题关键：分解 100 = 2² × 5²，排除 2 或 5 的倍数。

① 2 的倍数 50 个，5 的倍数 20 个，10 的倍数 10 个。

② 不互质的数 = 50 + 20 − 10 = 60 个。

③ 与 100 互质的正整数 = 100 − 60 = 40 个（即 φ(100) = 100 × (1 − 1/2) × (1 − 1/5) = 40）。

一点通：互质计数：分解、容斥、相减，三步定型。

第13题-(2)　同余·归纳　难度 ★★★

答案：—

破题关键：用归纳法：下一个数由上一个数决定，余数性质可传递。

① 第 1 个数 2 除以 3 余 2。

② 设某个数 a 除以 3 余 2，则下一个数 2a + 1 除以 3 的余数等于 2 × 2 + 1 = 5 除以 3 的余数，仍为 2。

③ 由归纳原理，这列数中每个数除以 3 都余 2。

一点通：余数问题抓住“下一个数由上一个数决定”的递推关系做归纳。

第13题-(3)　取模找矛盾　难度 ★★★★

答案：—

破题关键：完全平方数除以 3 的余数只能是 0 或 1，与本列数的余 2 矛盾。

① 若 3 整除 n，则 3 整除 n²，余 0；若 3 不整除 n，则 n ≡ 1 或 2 (mod 3)，n² ≡ 1 (mod 3)，余 1。

② 所以完全平方数除以 3 只能余 0 或 1。

③ 而由第 (2) 问，本列数每个都余 2，矛盾——故不存在完全平方数。

一点通：判断“不存在”型问题，常取模找矛盾；平方数的余数特征是最常用的模。