高三一轮复习专题:三次函数——从导数符号到零点个数,打通高考综合题的核心模型
- 2026-09-27 22:51:03
高三一轮复习专题：三次函数
——从导数符号到零点个数，打通高考综合题的核心模型
说明：本文不预设具体年份试题，也不臆测某一道题的原题形式，而是依据近年高考全国卷、新高考卷的命题特点，提炼三次函数在选择题、填空题和解答题中的稳定考法，服务于2027届高考一轮复习。
三次函数是高中数学中最典型的"导数综合模型"之一。它表面上考查求导、单调性和极值，实质上考查的是：
能否把函数问题转化为导数问题； 能否准确处理导数符号； 能否利用极值判断零点个数； 能否将参数问题转化为图像交点问题； 能否在复杂条件下保持分类讨论的严谨性。
对于
高考中最重要的不是求出三次方程的精确根，而是研究函数的变化趋势、极值位置和零点分布。
一、命题人眼中的三次函数
从命题角度看，三次函数通常不会单独考查"求一个三次方程的根"，而是将其放入以下情境中：
1. 研究函数性质
包括：单调区间；极值；拐点；对称中心；最值问题。
2. 研究零点个数
包括：判断方程根的个数；根据参数范围讨论零点；证明某区间内存在唯一零点；比较两个零点的大小或位置。
3. 与不等式结合
例如：
或：
本质上转化为研究 的零点和符号。
4. 与参数结合
例如：函数有几个极值点；方程有三个不等实根；函数在某区间上有两个零点；对任意 不等式恒成立；存在某个 使不等式成立。
5. 与切线、斜率结合
切线斜率问题往往转化为 的根的个数问题。
因此，三次函数专题的核心可以概括为：
二、三次函数的基本性质
设
1. 定义域和值域
三次函数是多项式函数，因此
当 时，函数的变化趋势由最高次项 决定。
当 时：
当 时：
因此三次函数的值域为：
这也说明：三次方程
至少有一个实根。
2. 图像的整体走向
：左下右上； ：左上右下。
但要特别注意：
三次函数一定具有中心对称性，但不一定具有明显的"S"形。
是否出现极大值和极小值，要由导数方程的根决定。
三、三次函数的导数结构
一阶导数为：
令：
这里的 来自导数方程的判别式：
因此， 的正负决定了导数方程的根的情况。
情形一：
导数方程无实根。
由于 是二次函数，其符号始终与 相同，因此：
时，，函数在 上单调递增； 时，，函数在 上单调递减。
此时：函数无极值点，但有一个拐点。
情形二：
导数方程有一个二重根：
此时：
导数在 左右不变号，所以： 时没有极大值和极小值。
但是：
因此 对应的是一个水平拐点。
典型例子：
虽然 ，但函数在 的两侧仍然递增，所以 不是极值点。
情形三：
导数方程有两个不相等的实根。记这两个根为 。
当 时：
于是：
在 上递增； 在 上递减； 在 上递增； 是极大值点； 是极小值点。
当 时：
于是： 是极小值点； 是极大值点。
一轮复习必须掌握的表述：
但要注意：
它表示有一个驻点，但这个驻点通常是水平拐点，不是极值点。
四、拐点与中心对称性
二阶导数为：
令 ，得：
因此，三次函数有且只有一个拐点，其坐标为：
其中：
所以对称中心为：
1. 三次函数为什么具有中心对称性？
令：
则原函数可化为：
其中 就是对称中心的纵坐标。
由于 是关于 的奇函数，所以图像关于点 中心对称。
2. 重要结论
若对称中心为 ，则有：
当三次函数关于原点中心对称时，必有 ，，即函数形如：
五、极值点、拐点和导数之间的联系
当 时，设两个极值点横坐标为 ，且 。
由韦达定理：
所以：
这说明：拐点横坐标是两个极值点横坐标的平均数。
这是三次函数中心对称性的代数体现。
此外，拐点处的导数值为：
这一结论在判断拐点切线斜率、参数范围和切线条数时非常有用。
六、零点个数的判断
设三次函数有两个极值点。
以 为例，函数变化趋势为：递增 → 递减 → 递增。
设极大值为 ，极小值为 。
1. 三个不相等实零点
当 且 时，函数有三个不相等的实零点。
这是高考中判断三次方程有三个不等实根的核心条件。
2. 一个二重根和一个单根
当 或 时，图像与 轴相切于极值点，通常有一个二重根和一个单根。
例如：
有：
其中 是二重根， 是单根。
3. 只有一个实根
当极大值和极小值同号时，通常只有一个实根。
例如 ， 时，函数的局部最高点仍在 轴下方，因此只能在右侧上升时与 轴相交一次。
4. 必须强调的判别误区
只能判断导数方程的根的情况，不能单独判断原三次方程的实根个数。
准确逻辑是：先用 判断极值点，再用极值的符号判断零点。
七、参数问题的本质：水平线与函数图像的交点
这是2027届备考中必须重点训练的思想。
例如研究方程：
的实根个数，可以改写为：
令：
则原方程的实根个数，就是水平直线 与曲线 的交点个数。
这种"参数分离"思想比直接解三次方程更符合高考命题方向。
八、典型例题一：三次方程根的个数
已知：
讨论方程 的实根个数。
解
有：
所以：
在 上递增； 在 上递减； 在 上递增。
计算极值：
要有三个不相等的实根，需要：
即 ，。所以：
当 时，有两个不同的实根，其中一个为二重根。
当 或 时，只有一个实根。
因此：
九、典型例题二：区间内零点个数
已知：
若函数在区间 内有两个不同的零点，求 的取值范围。
解
有：
在区间 上：
在 上递减； 在 上递增。
要在 和 内各有一个零点，需要：
分别计算：
所以 ，，。综上：
命题提醒
这类题不能只研究整个实数范围内的零点个数，必须严格结合题目给出的区间。
"函数有三个实根"和"函数在某个区间内有两个零点"是两类不同问题。
十、典型例题三：切线条数
设：
求曲线 上斜率为 的切线条数。
解
切线斜率为：
令：
即：
切线条数等于该方程实根的个数。
判别式为：
因此：
这里的本质仍然是：切线斜率问题等价于 的根的个数。
十一、三次函数与不等式
对于不等式：
核心不是直接解三次方程，而是：
研究函数的单调区间； 确定零点个数及其大小规律； 判断函数在各区间的符号。
例如，若三次函数有三个不相等的零点 $x_10$，则函数符号必然交替变化：
因此 的解集为：
若 ，符号顺序相反。
十二、2027届一轮复习的重点与难点
重点一：导数符号表必须规范
高考阅卷中，单调性和极值题的得分点通常包括：正确求导；正确解出临界点；正确判断导数符号；正确写出单调区间；正确判断极值类型。
只写结论、不写导数符号变化，过程分容易丢失。
重点二：区分"驻点"和"极值点"
满足 的点叫驻点。
只有当 在 两侧变号时， 才是极值点。
因此： 是极值的必要条件，但不是充分条件。
重点三：参数题优先考虑"极值临界状态"
如果题目问"有三个不等实根的参数范围"，通常临界状态出现在：极大值等于零；极小值等于零。
因此可以先求极值，再令极值为零，找到参数临界值，最后结合图像或符号判断区间。
重点四：区间问题不能照搬全局结论
研究整个 上的零点个数，与研究某个区间内的零点个数，解题逻辑不同。
区间问题必须优先检查 ，，以及区间内的极值点。
重点五：复杂零点不必强求精确值
高考中，如果题目没有特别要求，通常不需要使用卡尔丹公式或盛金公式求三次方程的精确根。
更常用的方法是：因式分解；导数分析；介值定理；单调性判断；二分法估计；参数分离。
十三、2027届备考建议
第一阶段：夯实基础
必须熟练掌握：
以及三种情况下的单调性结论。
要求做到：看到三次函数能立即求导；能快速判断有无极值；能准确列出单调区间；能判断函数的整体走势。
第二阶段：强化综合
重点训练以下模型：
三次函数零点个数； 含参数的零点问题； 区间内零点个数； 导数零点与极值； 切线条数； 三次函数不等式； 两函数交点个数； 极值与恒成立问题。
第三阶段：提升建模能力
面对新题，不要急于套公式，先问自己三个问题：
问题一：研究对象是谁？
是 还是 ？
问题二：题目条件对应什么图像语言？
"有三个根"——与 轴有三个交点； "有两个零点"——在指定区间内有两个交点； "有一条切线"——方程 有一个根； "恒成立"——函数最值满足相应不等式； "存在参数"——寻找图像相交或相切的临界状态。
问题三：临界情况是什么？
多数参数范围题的端点，都对应：相切；重根；极值为零；区间端点成为零点；导数出现重根。
十四、专题自测题
题1
已知：
若函数有两个极值点，求 的取值范围。
答案
要求导数有两个不相等的实根：
所以：
题2
已知：
若方程 有三个不相等的实根，求 的范围。
答案
题3
已知：
判断函数零点的个数。
答案
函数有三个不相等的实零点。
题4
若曲线：
存在三条相互平行的切线，求这些切线的斜率范围。
解析
切线斜率为：
若同一斜率对应三个不同切点，方程：
最多只有两个实根，因此不可能存在三条相互平行且斜率相同的不同切线。
结论：不存在。
这类题提醒我们：必须先判断方程 最多有几个实根，不能凭图像直觉作答。
十五、最终知识清单
一轮复习结束时，学生至少应熟练掌握以下结论：
：函数无极值，整体单调； ：有水平拐点，但无极值； ：有两个极值点； 拐点横坐标为 ； 三次函数的值域为 ； 三次函数至少有一个实零点； 三个不等实根的关键是极大值大于零、极小值小于零； 参数根的个数问题，本质上是图像交点问题； 切线斜率问题，本质上是研究 的根的个数； 不等式问题，本质上是研究零点和函数符号。
结语
三次函数专题的真正难点，不在于计算量，而在于逻辑转换。
面对任何一道题，都可以按照下面的路径处理：
高考中的三次函数，往往只是一个外壳。它考查的核心能力，是利用导数研究函数性质，并将代数条件、图像语言和参数范围相互转化。
对于2027届考生，最有效的复习方式不是背诵大量结论，而是把以下三种能力练熟：
看见三次函数，立即想到导数； 看见参数根的个数，立即想到极值和图像交点； 看见不等式和恒成立，立即想到函数最值与零点分布。
这三步真正打通，三次函数就不再是一个零散知识点，而会成为导数综合题中最稳定、最值得拿分的模型。
