苏教5上 | 第三单元《多边形面积》| 复习与扩展(day46)

很多五年级家长最近发现，孩子这个单元公式背得滚瓜烂熟，一做题就错：平行四边形面积算成“相邻两边相乘”，三角形、梯形面积忘了÷2，公顷和平方千米的进率怎么都记不住。

背熟了却不会用，问题不在孩子，而在复习方法——面积单元真正的主线，其实只有一条。

这篇笔记把苏教版五年级上册第三单元《多边形的面积》拆给你看：课本5个课时怎么复习，再从课本出发，带出6个奥数模型。文末有对照表和给家长的复习建议。

本指南的课本知识部分依据《5年级数学上册〈课堂笔记〉苏教 26秋》第三单元整理；奥数部分从《高思竞赛数学课本》四年级上册第03讲（基本直线形面积公式）、第20讲（底高的选取与组合）、第21讲（等积变形）出发扩展，与手头《小学奥数合辑》中“基本图形的面积计算”“等高模型与鸟头模型”“格点型面积”等章节相互衔接，可配套使用。

全单元共5个课时：平行四边形的面积、三角形的面积、梯形的面积、公顷和平方千米、组合图形的面积与面积的估计。

表面看是5个知识点，实际背后只有一种思想——转化：把没学过的图形，转化成学过的图形，面积不变，只是形状变了。

平行四边形转化成长方形，三角形、梯形通过“拼、补”转化成平行四边形，组合图形通过“分割、添补”转化成几个基本图形。孩子只要抓住了这条线，公式就不容易记错、记混。

课本先用割补法讲面积推导：把平行四边形沿高剪开，把剪下的三角形平移到另一边，就拼成一个长方形。

面积没变，形状变了——这就是“转化”。

沿着高剪开，平移过去，平行四边形就变成了长方形

公式由此而来：S ＝ a × h（底乘高）。

三个易错点：一是底和高必须对应，用哪条底，就用这条底上的高；二是已知面积反求时，底 ＝ S ÷ 高，高 ＝ S ÷ 底；三是割补成长方形后面积不变，但周长变小了。

三角形：两个完全一样的三角形能拼成一个平行四边形，每个三角形的面积是它的一半，所以公式是 S ＝ a × h ÷ 2。

注意这个“÷2”——拼成的平行四边形是一份，三角形只是它的一半。

梯形：补一个完全一样的梯形，拼成一个平行四边形，平行四边形的底正好是“上底＋下底”，所以 S ＝ (a ＋ b) × h ÷ 2。

由三角形公式立刻得到一个重要结论：等底等高的三角形，面积一定相等。这个结论看起来简单，却是后面所有奥数模型的起点。

这个课时没有图形，只有两个新单位，却是丢分重灾区。记住两个“边长”：

边长100米的正方形，面积是1公顷，1公顷 ＝ 10000平方米；边长1000米的正方形，面积是1平方千米，1平方千米 ＝ 100公顷 ＝ 1000000平方米。

从平方厘米到平方千米，进率不是均匀的，要分开记

记进率有个顺序：平方厘米→平方分米→平方米之间，相邻都是×100；平方米到公顷是×10000；公顷到平方千米是×100。

再记口诀：大单位换小单位乘进率，小单位换大单位除以进率。教室、操场用公顷，城市、省份用平方千米——单位选对了，换算就对了一大半。

组合图形的核心是两种方法：分割法，把图形切成几个基本图形，加起来；添补法，把缺的部分补上，用“补成的大图形 − 补上的部分”。

教孩子一个小习惯：不管用哪种方法，算完再换一种方法算一遍。两个答案一样，基本就对了。

不规则图形课本教数方格：只数整格是面积下限，不满整格的也算上是上限，实际面积就在这个范围里。这一课看起来简单，其实是为奥数里的“皮克定理”埋的伏笔——后面会讲到。

很多家长觉得奥数神秘，其实奥数里很多难题，就是把课本知识“往前再走一步”。下面这张对照表，就是6个奥数模型各自从课本哪里出发：

① 转化思想（割补、平移）→ 同底等高、等积变形——利用平行线间距离相等，让图形“换地方但面积不变”；

② 平行四边形、三角形面积公式 → 底与高的灵活选取——同一个三角形有三组底和高，选最方便的一组；

③ 三角形面积公式 → 等高模型——等高时，面积比等于底的比；

④ 等底等高结论 → 蝴蝶模型——梯形两条对角线，两翼面积相等；

⑤ 等高模型 → 鸟头模型（共角模型）——把等高模型连用两次；

⑥ 数方格估计 → 格点多边形（皮克定理）——从估范围变成算精确值。

课本结论“等底等高的三角形面积相等”，在奥数里用处极大。为什么成立？因为 S ＝ 底 × 高 ÷ 2，底相同、高相同，面积当然相同。

什么时候“高相同”最常见？两条平行线之间，任何位置距离都相等。所以只要三角形的底落在一条平行线上、顶点在另一条平行线上，顶点无论挪到哪里，面积都不变——这就是“同底等高”，也叫等积变形。

顶点在平行线上滑动，三角形面积始终不变

看一个例子：直线a、b平行，AB在a上且AB＝6厘米，P、Q在b上，三角形PAB面积15平方厘米。问三角形QAB面积？还是15。顺带还能反求两线距离：高 ＝ 15 × 2 ÷ 6 ＝ 5厘米。

这类题有个更快的结论：平行四边形里任取一点，它与一条边构成的三角形，面积等于平行四边形面积的一半。

这是奥数里最常用的“面积比工具”。三角形ABC中，D在BC上，连接AD——三角形ABD和ACD从同一个顶点A作高，高完全相同，所以：

S△ABD : S△ACD ＝ BD : DC

道理不复杂：两个三角形都等于“底 × 高 ÷ 2”，高和÷2都一样，面积比就只由底的比决定。

同一条高，面积随底的比分配

例题：三角形ABC面积50平方厘米，D在BC上，BD＝4厘米、DC＝6厘米。BD : DC ＝ 2 : 3，把50按2 : 3分：每份10，所以S△ABD ＝ 20，S△ACD ＝ 30。

这个模型还带一个高频结论：三角形的中线（把底平分）把三角形分成面积相等的两半——以后题里一出现“中点”，立刻想到面积平分。

梯形ABCD中，AD与BC平行，两条对角线AC、BD交于O。观察：三角形ABC和DBC同底（BC）等高（两平行线间距离），面积相等；两边都减去公共部分三角形OBC，剩下的左翼S△ABO和右翼S△CDO就相等。

这就是“蝴蝶模型”——梯形两条对角线画出来，左右两翼像蝴蝶翅膀，面积永远相等。

梯形的两条对角线，把图形分成四块，两翼相等

例题：梯形中，S△AOD ＝ 4，S△BOC ＝ 9，求两翼和梯形总面积。设两翼各为z，由 z : 4 ＝ 9 : z 得 z² ＝ 36，z ＝ 6。梯形面积 ＝ 4 ＋ 9 ＋ 6 ＋ 6 ＝ 25（平方厘米）。

更快记法：两翼的平方，等于上下两个三角形面积的乘积。

若两个三角形有一个公共角，另外两个顶点分别在角的两条边上，那么它们的面积比，等于“夹这个角的两条边乘积”的比——这就是鸟头模型（共角模型）。

推导并不神秘：先用一次等高模型，再用一次，乘起来就得到：S△ADE : S△ABC ＝ (AD × AE) : (AB × AC)。

共用一个角，面积按夹边乘积的比例分配

例题：三角形ABC面积90平方厘米，D是AB中点，E在AC上且AE : EC ＝ 2 : 1。则AD : AB ＝ 1 : 2，AE : AC ＝ 2 : 3，S△ADE ＝ 90 × 1/2 × 2/3 ＝ 30（平方厘米）。

课本教用数方格估计不规则图形面积，只能估一个范围。如果图形比较规整——所有顶点都在方格纸格点上——就有精确算法，这就是皮克定理（方格边长看作1）：

S ＝ I ＋ B ÷ 2 − 1（I为内部格点数，B为边界格点数）

数一数内部和边界的格点，套公式即得面积

验证一个L形：内部格点0个，边界格点8个，S ＝ 0 ＋ 8 ÷ 2 − 1 ＝ 3，正好3个小方格，和数方格一致。

数格点比数格子快，因为它只看两类点：图形里面有几个点（内部格点），边上压着几个点（边界格点）。

最后给三条可以直接用的建议：

第一条，先让孩子“画出公式”。复习时不要只背公式，让孩子把每个面积公式的推导图自己画一遍——能讲出平行四边形怎么变成长方形、三角形怎么拼成平行四边形，才算真会。

第二条，反求题先×2。已知面积反求高或底：高 ＝ S × 2 ÷ 底，底 ＝ S × 2 ÷ 高，顺序不能乱，这是最容易丢分的一步。

第三条，奥数从“同底等高”起步。孩子只要真懂了两条平行线之间面积不变的道理，等高模型、蝴蝶模型、鸟头模型都会顺很多。学有余力再碰皮克定理，当玩数格子游戏，孩子反而容易接受。

OK,以上就是本篇笔记的全部内容，感谢你能看到这里。如果你喜欢看，我就会继续写，最后求点赞、求收藏、求转发，最重要的是一个大大的关注。