学军高二试卷里 排列组合里藏着一个斐波那契
- 2026-10-28 18:46:15
排列组合里藏着一个斐波那契
学军试卷里排列组合选择题，四个选项一摆出来：35、55、89、144。
很多孩子的第一反应是：这数也太大了吧，总不能一个一个数吧。
对，不用数。这道题背后藏着一个你小学就认识的数列。
题目 将 1，2，3，…，10 这 10 个数字重新排列，得到新排列 a₁，a₂，…，a₁₀。若对每个 k 都满足
求满足条件的所有排列的个数。
一、先把条件翻译成人话
|aₖ − k| ≤ 1 是什么意思？位置 k 上的数，只能是 k−1、k、k+1 中的一个。
翻译成人话：每个数字要么不动，要么最多挪一格。
10 个数字的排列本来有 10! 种，加了这个约束，绝大多数排法都被干掉了。
约束越强，越值得从单个元素下手——这正是出题人留给你的抓手。
点睛：看到「每个元素只能小幅度移动」，别急着分类讨论所有数字。先问自己一句：最大的元素有几种站法？
二、最大的数 10 只能两种站法
数字 10 本来能站的位置有三个：9 号位、10 号位，还有 11 号位。
但 11 号位不存在。所以只剩两种可能。
情形一：10 留在 10 号位。它不碍任何人的事，剩下 1 到 9 这 9 个数照样满足「最多挪一格」，有 f₉ 种。
情形二：10 挪到 9 号位。关键来了——9 去哪？
9 只能站 8、9、10 号位。9 号位被 10 占了。要是 9 再去 8 号位，那 10 号位就彻底没人能站了：全场上除了 9 和 10，谁也不许站 10 号位。
所以 9 别无选择，只能站 10 号位，跟 10 换位。前 8 个数自成一体，有 f₈ 种。
易错点：分类最容易漏的就是「为什么 9 必须跟着换位」。10 号位只有 9 和 10 两个候选，10 走了，9 不补位，这个位置就空死了。想到这一层，分类才真正做到不重不漏。
两种情形合起来，递推式就出来了：
起点手算就有：
三、把数列推到第 10 项
接下来是纯体力活，一行一行往下加：
f₁ 到 f₁₀ 依次是：1，2，3，5，8，13，21，34，55，89。
所以答案是 89，选 C。这个数列就是斐波那契数列改了个开头。
再回头看选项，出题人的心思全在明面上：55 是 f₉，给少推了一步的人；144 是 f₁₁，给多推了一步的人；35 连数列都不是，是 34（f₈）旁边凑数的。
选项本身就告诉你要用递推，只是很多人没看出来。
四、缩小规模，自己验算一遍
递推听着玄，拿 n = 3 手数一把就踏实了。1、2、3 重排，每个数最多挪一格：
123（全不动）；213（1、2 换位）；132（2、3 换位）。
就这 3 个，f₃ = f₂ + f₁ = 2 + 1 = 3，分毫不差。
有兴趣的同学再数 n = 4，答案是 5 种：1234；2134；1324；1243；2143。前三个是只换一对，后两个是「2、3 换」和「1、2 换＋3、4 换」，正好对应 f₃ 和 f₂ 两路来源，递推看得清清楚楚。
五、方法总结
变式思考：如果把条件放宽成 |aₖ − k| ≤ 2 呢？方法完全一样，还是从 10 入手，只是情形从两类变成四类，递推式变长。期中一般不考，但想通这一步，这类题就真的通了。
这类题在期中卷的选填压轴位不算罕见。识别出「小位移」，认出「递推」，两分钟就能拿分；认不出来，就可能在一个根本数不完的数上耗掉五分钟。
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