高三二轮复习·直线与圆专题

考点题型图谱 ｜ 例题解析 ｜ 全题型覆盖

适用范围：新高考数学一轮/二轮复习。本专题覆盖直线方程、两直线位置关系、圆的方程、直线与圆位置关系、切线对称及最值等核心考点，配例题解析、分层习题与答案速查。

第一部分 考点图谱（先看图，再填表）

表1 六大考点模块 · 核心公式 · 高频方法 · 易错提醒

表2 三大方法母题 · 题型识别 · 标准动作

🔑 一、六大考点，先画“地图”

① 倾斜角与斜率：k=tanα，α=90° 时斜率不存在；倾斜角范围 [0,π)。

② 直线方程：点斜式、斜截式、两点式、截距式、一般式，按条件选形式。

③ 两直线位置关系：平行 A₁/A₂=B₁/B₂≠C₁/C₂；垂直 A₁A₂+B₁B₂=0。

④ 圆的方程：标准 (x−a)²+(y−b)²=r²；一般 x²+y²+Dx+Ey+F=0（须 D²+E²−4F>0）。

⑤ 直线与圆位置：几何法比距离 d 与半径 r；弦长 2√(r²−d²)。

⑥ 切线·对称·综合：切线 d=r；对称=中点在轴上+连线垂直轴；最值 d±r。

核心公式卡（务必记牢）：

k=tanα，              A1A2+B1B2=0,                (x-a)2+(y-b)2=r2

弦长=2r2-d2,         切线:d=r,                         最值:d±r

金句：直线与圆，是解析几何的“第一关”，也是数形结合的“训练场”——图看得准，式子才写得对。

第二部分 典型例题解析（例 1—例 17）

例 1判断下列结论的正误，并说明理由。（1）过点 A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程为x=0；（2）到x轴距离为2的直线的方程为y=−2；（3）到两坐标轴的距离乘积等于1的点的轨迹方程为xy=1；（4）△ABC的顶点A(0,−3)，B(1,0)，C(−1,0)，D为BC中点，则中线AD所在直线的方程为x=0。

解析

（1）过 (3,0)且垂直于x轴的直线应为x=3，方程与曲线不对应，错误。（2）到x轴距离为2的直线有y=2与y=−2两条，仅写一条不具备完备性，错误。（3）距离乘积为1即|x|·|y|=1，即xy=±1；xy=1只是其中一支，不具备完备性，错误。（4）中线AD是线段，其方程应为x=0(−3≤y≤0)；写成x=0 表示整条直线，不具备纯粹性，错误。

答案：四个结论均错误。

※ 当心：曲线与方程的两个要求——纯粹性（方程的解都在曲线上）＋完备性（曲线上的点都满足方程）；范围与限制条件别丢。

例 2已知 △ABC 的顶点 A 的坐标为 (3,−1)，AB 边上的中线所在直线方程为 6x+10y−59=0，∠B 的平分线所在直线方程为 x−4y+10=0，求 BC 边所在直线的方程。

解析

B 在角平分线上，设B(4y₁−10,y₁)。AB中点为((4y₁−7)/2,(y₁−1)/2)，代入中线方程：3(4y₁−7)+5(y₁−1)−59=0⇒17y₁=85⇒y₁=5，故B(10,5)。由角平分线性质，A关于直线x−4y+10=0的对称点A′在BC上。设A′(x′,y′)，则{(3+x′)/2−4·(−1+y′)/2+10=0，4(x′−3)+(y′+1)=0，即{x′−4y′+27=0，4x′+y′−11=0，解得A′(1,7)。BC过B(10,5)与A′(1,7)：k=(7−5)/(1−10)=−2/9，故2x+9y−65=0。

答案：2x+9y−65=0。

※ 当心：角平分线是“对称轴”——求对称点联立两条件（中点在轴上＋连线垂直轴）；设点技巧 B(4y₁−10,y₁) 把直线方程直接参数化。

例 3已知圆的方程是 x²+y²+2(m−1)x−4my+5m²−2m−8=0。（1）求此圆的圆心与半径；（2）求证：不论 m 为何实数，它们表示圆心在同一条直线上的等圆。

解析

（1）配方：[x+(m−1)]²+(y−2m)²=9，故圆心为 (1−m,2m)，半径 r=3。（2）半径恒为 3，与 m 无关，故均为等圆；圆心 (a,b) 满足 a=1−m，b=2m，消去 m 得 2a+b=2，即圆心恒在直线 2x+y−2=0 上。得证。

答案：（1）圆心 (1−m,2m)，r=3；（2）见证明。

※ 当心：含参圆先配方再读圆心半径；证“等圆”须说明半径与参数无关；证“圆心共线”是把圆心坐标用参数表示后消参得轨迹。

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