“小喵喵”2027届高三第一次模拟考试

数学（新高考I卷）

满分：150分  考试时长：120分钟

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1、已知集合$A={x\mid x^2-2x-3\le 0}$，$B={x\mid 2^x>1}$，则$A\cap B=$（）A.$[-1,3]$  B.$(0,3]$  C.$[-1,+\infty)$  D.$(1,3]$

2、若复数$z$满足$(1-i)z=2i$，则$z$的虚部为（）A.$-1$  B.$1$  C.$-i$  D.$i$

3、已知向量$\boldsymbol{a}=(2,-1)$，$\boldsymbol{b}=(1,m)$，若$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})$，则$m=$（）A.$-4$  B.$-3$  C.$2$  D.$4$

4、已知$\sin\left(\alpha+\dfrac{\pi}{6}\right)=\dfrac{1}{3}$，则$\cos\left(2\alpha+\dfrac{\pi}{3}\right)=$（）A.$\dfrac{7}{9}$  B.$\dfrac{1}{9}$  C.$-\dfrac{7}{9}$  D.$-\dfrac{1}{9}$

5、已知抛物线$C:y^2=4x$的焦点为$F$，点$P$在$C$上，若$|PF|=4$，则$P$点横坐标为（）A.$1$  B.$2$  C.$3$  D.$4$

6、已知等差数列${a_n}$中，$a_2+a_8=12$，则该数列前9项和$S_9=$（）A.$54$  B.$60$  C.$72$  D.$108$

7、函数$f(x)=\dfrac{\sin2x}{e^{|x|}}$的图像大致为（）A.关于y轴对称，在原点附近震荡B.奇函数，原点附近震荡，振幅随$|x|$衰减C.单调递增D.单调递减

8、已知$a=\ln1.1$，$b=0.11$，$c=e^{0.1}-1$，则（）A.$a<b<c$  B.$b<a<c$  C.$a<c<b$  D.$c<a<b$

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分。

9、下列说法正确的有（）A.若随机变量$X\sim N(1,\sigma^2)$，$P(X>2)=0.2$，则$P(0<X<1)=0.3$B.线性回归直线$\hat y=\hat b x+\hat a$一定过样本中心点$(\bar x,\bar y)$C.事件$A,B$相互独立，则$A$与$\overline B$也相互独立D.对立事件一定是互斥事件，互斥事件也一定是对立事件

10、已知圆$M:(x-1)^2+(y-2)^2=4$，则下列结论正确的是（）A.圆心$M(1,2)$，半径$r=2$B.圆$M$与y轴相交C.直线$3x+4y+1=0$与圆相离D.过原点可作圆$M$的两条切线

11、在棱长为2的正方体$ABCD-A_1B_1C_1D_1$中，下列结论正确的是（）A.$AC_1\perp$平面$A_1BD$B.异面直线$AD_1$与$BD$所成角为$60^\circ$C.三棱锥$A-A_1BD$体积为$\dfrac{4}{3}$D.$BC_1$与平面$ABCD$所成角为$45^\circ$

12、已知函数$f(x)=x\ln x$，则（）A.$f(x)$定义域$(0,+\infty)$B.$f(x)$在$\left(0,\dfrac1e\right)$单调递减C.$f(x)$最小值$-\dfrac1e$D.$f(x)$有两个零点

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13、二项式$\left(x-\dfrac1x\right)^6$展开式的常数项为________。

14、已知双曲线$\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{3}=1(a>0)$的一条渐近线为$y=\sqrt3 x$，则$a=$________。

15、已知$\triangle ABC$内角$A,B,C$对边$a,b,c$，$a=2$，$b=3$，$C=\dfrac{\pi}{3}$，则$S_{\triangle ABC}=$________。

16、已知正四棱锥$P-ABCD$，底面边长为2，侧棱长为$\sqrt3$，则该正四棱锥外接球表面积为________。

四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17、（10分）已知${a_n}$是等比数列，$a_1=2$，$a_1+a_2+a_3=14$。(1)求数列${a_n}$通项公式；(2)设$b_n=\log_2 a_n$，求${b_n}$前$n$项和$T_n$。

18、（12分）在$\triangle ABC$中，角$A,B,C$对应边$a,b,c$，已知$b\sin A=\sqrt3 a\cos B$。(1)求角$B$；(2)若$b=\sqrt7$，$a=2$，求$\triangle ABC$面积。

19、（12分）如图，四棱锥$P-ABCD$，底面$ABCD$是矩形，$PA\perp$底面$ABCD$，$PA=AB=2$，$AD=1$。(1)求证：平面$PAB\perp$平面$PBC$；(2)求二面角$B-PC-D$的余弦值。

20、（12分）某班级开展知识答题活动，每轮答题：答对概率$0.6$，答错$0.4$，各轮答题相互独立。规则：累计答对2题或累计答错2题，则本轮游戏结束。(1)求游戏恰好进行两轮结束的概率；(2)记游戏结束时答题次数为$X$，求$X$分布列与数学期望$E(X)$。

21、（12分）已知椭圆$C:\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(0<b<2)$的离心率$e=\dfrac{\sqrt2}{2}$。(1)求椭圆$C$方程；(2)过点$P(1,0)$的直线$l$与椭圆交于$M,N$两点，求$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}$取值范围。

22、（12分）已知函数$f(x)=e^x-ax^2-x-1$。(1)当$a=1$时，求$f(x)$单调区间；(2)若$x\ge0$时，$f(x)\ge0$恒成立，求实数$a$取值范围。

参考答案与解析

一、单项选择题

1、B解析：$A:x^2-2x-3\le0\Rightarrow-1\le x\le3$；$B:2^x>1\Rightarrow x>0$；交集$(0,3]$。

2、B解析：$z=\dfrac{2i}{1-i}=\dfrac{2i(1+i)}{(1-i)(1+i)}=\dfrac{-2+2i}{2}=-1+i$，虚部为$1$。

3、A解析：$\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b}=(3,m-1)$；$\boldsymbol{a}\perp(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})\Rightarrow \boldsymbol{a}\cdot(\boldsymbol{a}+\boldsymbol{b})=6-(m-1)=0\Rightarrow m=-4$。

4、A解析：令$\theta=\alpha+\dfrac{\pi}{6}$，$\cos(2\theta)=1-2\sin^2\theta=1-2\times\left(\dfrac13\right)^2=\dfrac79$。

5、C解析：抛物线$y^2=4x$，$p=2$，焦半径$|PF|=x_P+1=4\Rightarrow x_P=3$。

6、A解析：等差数列$a_2+a_8=2a_5=12\Rightarrow a_5=6$，$S_9=9a_5=54$。

7、B解析：$f(-x)=\dfrac{\sin(-2x)}{e^{|x|}}=-\dfrac{\sin2x}{e^{|x|}}=-f(x)$，奇函数；振幅$\dfrac{1}{e^{|x|}}$随$|x|$增大衰减。

8、C解析：$a=\ln1.1\approx0.0953，c=e^{0.1}-1\approx0.1052，b=0.11$，$a<c<b$。

二、多项选择题

9、ABC解析：D错误，互斥事件不一定是对立事件。

10、ABCD解析：圆心$(1,2)$半径2；到y轴距离$1<2$，圆与y轴相交；圆心到直线$3x+4y+1=0$距离$d=\dfrac{|3+8+1|}{5}=2.4>2$，直线与圆相离；原点到圆心距离$\sqrt{1+4}=\sqrt5>2$，可作两条切线。

11、ABCD解析：$AC_1\perp$平面$A_1BD$；异面直线$AD_1$与$BD$夹角$60^\circ$；三棱锥$A-A_1BD$体积$\dfrac43$；$BC_1$与底面$ABCD$所成角为$\angle C_1BC=45^\circ$。

12、ABC解析：$f(x)=x\ln x$仅有一个零点$x=1$，D错误。

三、填空题

13、$\boldsymbol{-20}$解析：$T_{r+1}=C_6^r x^{6-r}(-x^{-1})^r=(-1)^rC_6^r x^{6-2r}$，$6-2r=0\Rightarrow r=3$，$(-1)^3C_6^3=-20$。

14、$\boldsymbol1$解析：渐近线$y=\dfrac{\sqrt3}{a}x=\sqrt3x\Rightarrow a=1$。

15、$\boldsymbol{\dfrac{3\sqrt3}{2}}$解析：$S=\dfrac12ab\sin C=\dfrac12\times2\times3\times\sin\dfrac\pi3=\dfrac{3\sqrt3}{2}$。

16、$\boldsymbol{\dfrac{16\pi}{3}}$解析：底面正方形中心$O_1$，底面中心到顶点距离$\sqrt2$，高$h=\sqrt{(\sqrt3)^2-(\sqrt2)^2}=1$；设外接球半径R，$R^2=(\sqrt2)^2+(R-1)^2\Rightarrow R=\dfrac32$；表面积$4\pi R^2=\dfrac{16\pi}{3}$。

四、解答题

17、解：(1)设公比$q$，$a_1=2$，$2+2q+2q^2=14$，化简$q^2+q-6=0$，解得$q=2$或$q=-3$。若$q=2$，$a_n=2^n$；若$q=-3$，$a_n=2\cdot(-3)^{n-1}$。

(2)$b_n=\log_2 a_n$，$a_n=2(-3)^{n-1}$时对数无意义，舍去。$a_n=2^n$，则$b_n=n$，${b_n}$为等差数列，$T_n=\dfrac{n(n+1)}{2}$。

18、(1)正弦定理：$\sin B\sin A=\sqrt3\sin A\cos B$，$\sin A\neq0$，得$\tan B=\sqrt3$，$B\in(0,\pi)$，故$B=\dfrac{\pi}{3}$。(2)余弦定理：$b^2=a^2+c^2-2ac\cos B$，代入$b=\sqrt7,a=2$，$7=4+c^2-2c$，$c^2-2c-3=0$，解得$c=3$。$S=\dfrac12ac\sin B=\dfrac12\times2\times3\times\dfrac{\sqrt3}{2}=\dfrac{3\sqrt3}{2}$。

19、(1)证明：$PA\perp$底面$ABCD$，$BC\subset$底面，$PA\perp BC$；矩形$ABCD$，$AB\perp BC$；$PA\cap AB=A$，$PA,AB\subset$平面$PAB$，所以$BC\perp$平面$PAB$。又$BC\subset$平面$PBC$，因此平面$PAB\perp$平面$PBC$。(2)以$A$为原点建空间直角坐标系：$A(0,0,0),B(2,0,0),C(2,1,0),D(0,1,0),P(0,0,2)$。平面$BPC$法向量$\boldsymbol{n_1}=(1,0,1)$；平面$DPC$法向量$\boldsymbol{n_2}=(0,2,1)$。$\cos\theta=\dfrac{\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\dfrac{1}{\sqrt2\cdot\sqrt5}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$，二面角为钝角，余弦值为$-\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。

20、(1)两轮结束包含：连续答对2题，或者连续答错2题。$P=0.6\times0.6+0.4\times0.4=0.52$。(2)$X$可取$2,3$。$P(X=2)=0.52$；$P(X=3)=1-0.52=0.48$$E(X)=2\times0.52+3\times0.48=2.48$。

21、(1)$a=2,e=\dfrac{c}{a}=\dfrac{\sqrt2}{2}\Rightarrow c=\sqrt2$，$b^2=a^2-c^2=2$，椭圆方程：$\boldsymbol{\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{y^2}{2}=1}$。(2)①直线斜率不存在：直线$x=1$，代入椭圆得$y=\pm\dfrac{\sqrt6}{2}$，$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=1-\dfrac32=-\dfrac12$；②斜率存在，设$y=k(x-1)$，联立椭圆，韦达定理化简：$\overrightarrow{OM}\cdot\overrightarrow{ON}=\dfrac{2k^2-4}{2k^2+1}$，取值范围$\boldsymbol{\left[-2,-\dfrac12\right]}$。

22、(1)$a=1$，$f(x)=e^x-x^2-x-1$，$f'(x)=e^x-2x-1$；$f''(x)=e^x-2$。$x<\ln2,f''(x)<0,f'(x)$递减；$x>\ln2,f''(x) >0,f'(x)$递增；$f'(0)=0$；$x\in R$时$f'(x)\ge0$；故$f(x)$在$\boldsymbol{R}$上单调递增。

(2)$f'(x)=e^x-2ax-1,f(0)=0$，$f'(0)=0,f''(x)=e^x-2a$。①$2a\le1$即$a\le\dfrac12$，$x\ge0$时$f''(x)\ge0$，$f'(x)$单调递增，$f'(x)\ge f'(0)=0$，$f(x)$单调递增，$f(x)\ge0$恒成立；②$a>\dfrac12$，存在$x_0>0$，当$0<x<x_0$，$f''(x)<0,f'(x)$递减，$f'(x_0)<0$，$f(x)$在$(0,x_0)$递减，$f(x_0)<f(0)=0$，不满足条件。综上：$\boldsymbol{a\le\dfrac12}$。