空间向量练习题

已知：长方体，A 为原点，a=20, b=12, c=8.0, t=0.50

① 写出各点坐标、向量 AB₁、BC₁

由长方体性质，以 A 为原点建立空间直角坐标系：A(0, 0, 0), B(20, 0, 0), C(20, 12, 0), D(0, 12, 0)A₁(0, 0, 8), B₁(20, 0, 8), C₁(20, 12, 8), D₁(0, 12, 8)动点 P 在 D₁C₁ 上，D₁P = t·D₁C₁，得：P(20.00×0.50, 12, 8) = (10.00, 12.00, 8.00)计算向量：AB₁ = B₁ - A = (20.00-0, 0-0, 8.00-0) = (20.00, 0.00, 8.00)BC₁ = C₁ - B = (20.00-20.00, 12.00-0, 8.00-0) = (0.00, 12.00, 8.00)

② 求 |AB₁|

|AB₁| = √(x² + y² + z²)= √(20.00² + 0.00² + 8.00²)= √(400.00 + 0.00 + 64.00)

|AB₁| = 21.541

③ 求 |BC₁|

|BC₁| = √(x² + y² + z²)= √(0.00² + 12.00² + 8.00²)= √(0.00 + 144.00 + 64.00)

|BC₁| = 14.422

④ 底面 ABCD 法向量 n₁

底面 ABCD 位于 z = 0 平面，取垂直于该平面的单位向量。

n₁ = (0, 0, 1)

⑤ 异面直线 AB₁、BC₁ 夹角 θ

cos θ = |AB₁ · BC₁| / (|AB₁| × |BC₁|)点积 AB₁ · BC₁ = (20.00×0.00) + (0.00×12.00) + (8.00×8.00)= 0.00 + 0 + 64.00 = 64.00cos θ = 64.00 / (21.54 × 14.42) = 0.21

θ = arccos(0.21) = 78.11°

⑥ BC₁ 在 AB₁ 上的投影长度

Proj = |AB₁ · BC₁| / |AB₁|= 64.00 / 21.54

Proj = 2.971

⑦ AB₁ 的单位向量 e

e = AB₁ / |AB₁|= (20.00, 0.00, 8.00) / 21.54

e = (0.928, 0.000, 0.371)

⑧ AB₁ 与底面的线面角 α

sin α = |AB₁ · n₁| / (|AB₁| × |n₁|)点积 AB₁ · n₁ = (20.00×0) + (0.00×0) + (8.00×1) = 8.00sin α = 8.00 / (21.54 × 1) = 0.37

α = arcsin(0.37) = 21.80°

⑨ 平面 AB₁P 的法向量 n₃

求 n₃ = AB₁ × AP，设 n₃ = (x, y, z)AP = P - A = (10.00, 12.00, 8.00)解方程组：n₃ · AB₁ = 0 且 n₃ · AP = 020.00x + 0.00y + 8.00z = 010.00x + 12.00y + 8.00z = 0取叉乘行列式展开：x = (0×8.00) - (8.00×12.00) = -96.00y = (8.00×10.00) - (20.00×8.00) = -80.00z = (20.00×12.00) - (0×10.00) = 240.00

n₃ = (-96.00, -80.00, 240.00)

⑩ 二面角 ABCD-AB₁P

cos φ = |n₁ · n₃| / (|n₁| × |n₃|)n₁ · n₃ = (0×-96.00) + (0×-80.00) + (1×240.00) = 240.00|n₃| = √(-96.00² + -80.00² + 240.00²) = 270.58cos φ = |240.00| / (1 × 270.58) = 0.89

φ = arccos(0.89) = 27.51°

⑪ 点 C₁ 到平面 AB₁P 距离

d = |AC₁ · n₃| / |n₃|AC₁ = C₁ - A = (20.00, 12.00, 8.00)AC₁ · n₃ = (20.00×-96.00) + (12.00×-80.00) + (8.00×240.00) = -960.00d = |-960.00| / 270.58

d = 3.548

⑫ 三棱锥 C₁-AB₁P 体积

V = (1/6) × |(AB₁ × AP) · AC₁|因为 n₃ = AB₁ × AP，所以 V = (1/6) × |n₃ · AC₁|= (1/6) × |-960.00| = 160.00

V = 160.000

⑬ 异面直线 AB₁ 与 PC₁ 的最短距离

d = |(AB₁ × PC₁) · AP| / |AB₁ × PC₁|PC₁ = C₁ - P = (10.00, 0.00, 0.00)(叉乘) AB₁ × PC₁ = (0, 80.00, 0)，模长 = 80.00(AB₁ × PC₁) · AP = (0×10.00) + (80.00×12.00) + (0×8.00) = 960.00d = 960.00 / 80.00

d = 12.000

① 确定各点坐标

A(0,0,0), B(19.00,0,0), B₁(19.00,0,9.00) C₁(19.00,14.00,9.00), D₁(0,14.00,9.00) 动点 P 在 D₁C₁ 上，参数 t = 0.50 P 横坐标：x = a × (1 − t) = 19.00 × (1 − 0.50) = 9.50所以 P( 9.50, 14.00, 9.00 )

② 构造向量 AB₁，求它的模长

AB₁ = B₁ − A = (19.00−0, 0−0, 9.00−0) = (19.00, 0.00, 9.00) 向量模长公式：|m| = √(x²+y²+z²) |AB₁| = √(19.00² + 0.00² + 9.00²) = √(361.00 + 0 + 81.00) = √442.00 = 21.0238

③ 构造向量 BC₁，求它的模长

BC₁ = C₁ − B = (19.00−19.00, 14.00−0, 9.00−0) = (0.00, 14.00, 9.00) |BC₁| = √(0.00² + 14.00² + 9.00²) = √(0 + 196.00 + 81.00) = √277.00 = 16.6433

④ 写出底面 ABCD 的法向量

底面 ABCD 在 xOy 平面，垂直底面向上的法向量： n₁ = (0, 0, 1)

⑤ 求异面直线 AB₁ 与 BC₁ 夹角 θ

异面直线夹角公式：cos θ = |AB₁·BC₁| / (|AB₁||BC₁|) 第一步，计算点积： AB₁·BC₁ = 19.00×0.00 + 0.00×14.00 + 9.00×9.00 = 0 + 0 + 81.00 = 81.00代入公式： cos θ = 81.00 / (21.0238 × 16.6433) = 81.00 / 349.9057 = 0.231491θ = arccos(0.231491) = 76.62°

⑥ 求 BC₁ 在 AB₁ 上的投影

向量投影长度公式：proj = (AB₁·BC₁) / |AB₁| proj = 81.00 / 21.0238 = 3.8528

⑦ 求 AB₁ 方向上的单位向量

单位向量公式：e = AB₁ / |AB₁| e_AB₁ = (19.00, 0.00, 9.00) / 21.0238 = (0.9037, 0, 0.4281)

⑧ 求直线 AB₁ 与底面 ABCD 的线面角 α

线面角 α 和直线与法向量夹角互余： sin α = |AB₁·n₁| / (|AB₁||n₁|) AB₁·n₁ = 19.00×0 + 0.00×0 + 9.00×1 = 9.00 sin α = 9.00 / (21.0238 × 1) = 0.428086 α = arcsin(0.428086) = 25.35°

⑨ 动点 P，写出 AP 向量

P(9.50, 14.00, 9.00), A(0,0,0) AP = P − A = (9.50−0, 14.00−0, 9.00−0) = (9.50, 14.00, 9.00)

⑩ 求平面 AB₁P 的法向量 n₃

n₃ = AB₁ × AP AB₁ = (x₁,y₁,z₁) = (19.00, 0.00, 9.00) AP = (x₂,y₂,z₂) = (9.50, 14.00, 9.00) 叉乘三分量公式： { X = y₁z₂ − z₁y₂ { Y = z₁x₂ − x₁z₂ { Z = x₁y₂ − y₁x₂ • X 分量：   X = 0.00×9.00 − 9.00×14.00     = 0.00 − 126.00 = -126.00• Y 分量：   Y = 9.00×9.50 − 19.00×9.00     = 85.50 − 171.00 = -85.50• Z 分量：   Z = 19.00×14.00 − 0.00×9.50     = 266.00 − 0.00 = 266.00得到平面 AB₁P 法向量： n₃ = (-126.00, -85.50, 266.00)

⑪ 求截面 AB₁P 与底面 ABCD 的二面角 φ

底面法向量 n₁ = (0, 0, 1) 二面角公式：cos φ = |n₁·n₃| / (|n₁||n₃|) 1) 计算点积    n₁·n₃ = 0×(-126.00) + 0×(-85.50) + 1×266.00          = 0 + 0 + 266.00 = 266.002) |n₁| = √(0²+0²+1²) = 1 3) |n₃| = √((-126.00)² + (-85.50)² + (266.00)²)         = √93942.25         = 306.5000 4) 代入    cos φ = 266.0000 / (1 × 306.5000)          = 266.0000 / 306.5000          ≈ 0.8679    φ = arccos(0.8679) ≈ 29.79°

① 确定各点坐标

A(0,0,0), B(2.00,0,0), B₁(2.00,0,2.00) C₁(2.00,3.00,2.00), D₁(0,3.00,2.00) 动点 P 在 D₁C₁ 上，参数 t = 0.50 P 横坐标：x = a × (1 − t) = 2.00 × (1 − 0.50) = 1.00所以 P( 1.00, 3.00, 2.00 )

② 构造向量 AB₁，求它的模长

AB₁ = B₁ − A = (2.00−0, 0−0, 2.00−0) = (2.00, 0.00, 2.00) 向量模长公式：|m| = √(x²+y²+z²) |AB₁| = √(2.00² + 0.00² + 2.00²) = √(4.00 + 0 + 4.00) = √8.00 = 2.8284

③ 构造向量 BC₁，求它的模长

BC₁ = C₁ − B = (2.00−2.00, 3.00−0, 2.00−0) = (0.00, 3.00, 2.00) |BC₁| = √(0.00² + 3.00² + 2.00²) = √(0 + 9.00 + 4.00) = √13.00 = 3.6056

④ 写出底面 ABCD 的法向量

底面 ABCD 在 xOy 平面，垂直底面向上的法向量： n₁ = (0, 0, 1)

⑤ 求异面直线 AB₁ 与 BC₁ 夹角 θ

异面直线夹角公式：cos θ = |AB₁·BC₁| / (|AB₁||BC₁|) 第一步，计算点积： AB₁·BC₁ = 2.00×0.00 + 0.00×3.00 + 2.00×2.00 = 0 + 0 + 4.00 = 4.00代入公式： cos θ = 4.00 / (2.8284 × 3.6056) = 4.00 / 10.1980 = 0.392232θ = arccos(0.392232) = 66.91°

⑥ 求 BC₁ 在 AB₁ 上的投影

向量投影长度公式：proj = (AB₁·BC₁) / |AB₁| proj = 4.00 / 2.8284 = 1.4142

⑦ 求 AB₁ 方向上的单位向量

单位向量公式：e = AB₁ / |AB₁| e_AB₁ = (2.00, 0.00, 2.00) / 2.8284 = (0.7071, 0, 0.7071)

⑧ 求直线 AB₁ 与底面 ABCD 的线面角 α

线面角 α 和直线与法向量夹角互余： sin α = |AB₁·n₁| / (|AB₁||n₁|) AB₁·n₁ = 2.00×0 + 0.00×0 + 2.00×1 = 2.00 sin α = 2.00 / (2.8284 × 1) = 0.707107 α = arcsin(0.707107) = 45.00°

⑨ 动点 P，写出 AP 向量

P(1.00, 3.00, 2.00), A(0,0,0) AP = P − A = (1.00−0, 3.00−0, 2.00−0) = (1.00, 3.00, 2.00)

⑩ 求平面 AB₁P 的法向量 n₃

n₃ = AB₁ × AP AB₁ = (x₁,y₁,z₁) = (2.00, 0.00, 2.00) AP = (x₂,y₂,z₂) = (1.00, 3.00, 2.00) 叉乘三分量公式： { X = y₁z₂ − z₁y₂ { Y = z₁x₂ − x₁z₂ { Z = x₁y₂ − y₁x₂ • X 分量：   X = 0.00×2.00 − 2.00×3.00     = 0.00 − 6.00 = -6.00• Y 分量：   Y = 2.00×1.00 − 2.00×2.00     = 2.00 − 4.00 = -2.00• Z 分量：   Z = 2.00×3.00 − 0.00×1.00     = 6.00 − 0.00 = 6.00得到平面 AB₁P 法向量： n₃ = (-6.00, -2.00, 6.00)

⑪ 求截面 AB₁P 与底面 ABCD 的二面角 φ

底面法向量 n₁ = (0, 0, 1) 二面角公式：cos φ = |n₁·n₃| / (|n₁||n₃|) 1) 计算点积    n₁·n₃ = 0×(-6.00) + 0×(-2.00) + 1×6.00          = 0 + 0 + 6.00 = 6.002) |n₁| = √(0²+0²+1²) = 1 3) |n₃| = √((-6.00)² + (-2.00)² + (6.00)²)         = √76.00         = 8.7178 4) 代入    cos φ = 6.0000 / (1 × 8.7178)          = 6.0000 / 8.7178          ≈ 0.6882    φ = arccos(0.6882) ≈ 46.51°

① 确定各点坐标

A(0,0,0), B(6.00,0,0), B₁(6.00,0,3.00) C₁(6.00,6.00,3.00), D₁(0,6.00,3.00) 动点 P 在 D₁C₁ 上，参数 t = 0.60 P 横坐标：x = a × (1 − t) = 6.00 × (1 − 0.60) = 2.40所以 P( 2.40, 6.00, 3.00 )

② 构造向量 AB₁，求它的模长

AB₁ = B₁ − A = (6.00−0, 0−0, 3.00−0) = (6.00, 0.00, 3.00) 向量模长公式：|m| = √(x²+y²+z²) |AB₁| = √(6.00² + 0.00² + 3.00²) = √(36.00 + 0 + 9.00) = √45.00 = 6.7082

③ 构造向量 BC₁，求它的模长

BC₁ = C₁ − B = (6.00−6.00, 6.00−0, 3.00−0) = (0.00, 6.00, 3.00) |BC₁| = √(0.00² + 6.00² + 3.00²) = √(0 + 36.00 + 9.00) = √45.00 = 6.7082

④ 写出底面 ABCD 的法向量

底面 ABCD 在 xOy 平面，垂直底面向上的法向量： n₁ = (0, 0, 1)

⑤ 求异面直线 AB₁ 与 BC₁ 夹角 θ

异面直线夹角公式：cos θ = |AB₁·BC₁| / (|AB₁||BC₁|) 第一步，计算点积： AB₁·BC₁ = 6.00×0.00 + 0.00×6.00 + 3.00×3.00 = 0 + 0 + 9.00 = 9.00代入公式： cos θ = 9.00 / (6.7082 × 6.7082) = 9.00 / 45.0000 = 0.200000θ = arccos(0.200000) = 78.46°

⑥ 求 BC₁ 在 AB₁ 上的投影

向量投影长度公式：proj = (AB₁·BC₁) / |AB₁| proj = 9.00 / 6.7082 = 1.3416

⑦ 求 AB₁ 方向上的单位向量

单位向量公式：e = AB₁ / |AB₁| e_AB₁ = (6.00, 0.00, 3.00) / 6.7082 = (0.8944, 0, 0.4472)

⑧ 求直线 AB₁ 与底面 ABCD 的线面角 α

线面角 α 和直线与法向量夹角互余： sin α = |AB₁·n₁| / (|AB₁||n₁|) AB₁·n₁ = 6.00×0 + 0.00×0 + 3.00×1 = 3.00 sin α = 3.00 / (6.7082 × 1) = 0.447214 α = arcsin(0.447214) = 26.57°

⑨ 动点 P，写出 AP 向量

P(2.40, 6.00, 3.00), A(0,0,0) AP = P − A = (2.40−0, 6.00−0, 3.00−0) = (2.40, 6.00, 3.00)

⑩ 求平面 AB₁P 的法向量 n₃

n₃ = AB₁ × AP AB₁ = (x₁,y₁,z₁) = (6.00, 0.00, 3.00) AP = (x₂,y₂,z₂) = (2.40, 6.00, 3.00) 叉乘三分量公式： { X = y₁z₂ − z₁y₂ { Y = z₁x₂ − x₁z₂ { Z = x₁y₂ − y₁x₂ • X 分量：   X = 0.00×3.00 − 3.00×6.00     = 0.00 − 18.00 = -18.00• Y 分量：   Y = 3.00×2.40 − 6.00×3.00     = 7.20 − 18.00 = -10.80• Z 分量：   Z = 6.00×6.00 − 0.00×2.40     = 36.00 − 0.00 = 36.00得到平面 AB₁P 法向量： n₃ = (-18.00, -10.80, 36.00)

⑪ 求截面 AB₁P 与底面 ABCD 的二面角 φ

底面法向量 n₁ = (0, 0, 1) 二面角公式：cos φ = |n₁·n₃| / (|n₁||n₃|) 1) 计算点积    n₁·n₃ = 0×(-18.00) + 0×(-10.80) + 1×36.00          = 0 + 0 + 36.00 = 36.002) |n₁| = √(0²+0²+1²) = 1 3) |n₃| = √((-18.00)² + (-10.80)² + (36.00)²)         = √1736.64         = 41.6730 4) 代入    cos φ = 36.0000 / (1 × 41.6730)          = 36.0000 / 41.6730          ≈ 0.8639    φ = arccos(0.8639) ≈ 30.25°