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前几天偶然看到了一个有趣的周期函数题目，也是一道CMC训练题（因为这题出自于其他的竞赛班资料当中），其实题干并没有很惊艳，主要是题目的原始解答或者说“官方答案”使用了一些非常高级的理论（一些逼近定理），看上去很复杂。但是另一方面，原题读起来却很简单，至少它不涉及任何大学数学的知识，所以吸引到了我的目光

我就好奇：一个题目如果表述上是完全初等的，那是不是理所应当存在完全初等的解答呢？

事实果真如此！下面就来看看题目，然后讲解一下，本题看似是大学题目，实际上高中生就可以轻松掌握，很适合作为高考19题考察，值得大家练习

问题与解析

设  为  上的连续周期函数。若  为常值函数，而其中任意少于  个函数的和均不是常值函数，证明  有公共正周期。

记 。

引理 设  为连续的 -周期函数，，且 。若  为常值函数，则  为常值函数。

事实上，若 ，则 。由  有界可知 ，故  均为  的周期。利用  在  中的稠密性及  的连续性，得  为常值函数。

现分别取  的正周期 ，令

由于  均为有理数（），这些  有正公倍数 ，故  以  为周期；而对每个 ，都有 。

若 ，在  两边依次作用所有 （）。由于差分运算可交换，且 ，得到

所有中间差分仍为连续的 -周期函数。从最外层差分开始应用引理，先得到其所作用的函数为常值，再逐层向内，最终得到  为常值函数。这与题设矛盾，因为 。

因此 ，上述  就是所有  的公共正周期。

因此，初等问题必有初等解答，如果谁声称高考题不存在高考解法，那一定是他太菜了，要不就是他在故弄玄虚，吓唬你

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作者：柯西永远爱你