老杨随笔 · 初一期中备考

初一期中数学，最后几天到底应该怎么复习？

—— 从去年无锡地区9套期中数学试卷谈起

真题分析 · 解题方法 · 讲义复盘

同学们，期中考试快到了。

这几天，我把去年无锡地区9套不同的初一数学期中试卷重新研究了一遍，包括江阴、梁溪、滨湖、惠山、锡山、宜兴等地区和学校的试卷。

有一个发现，值得大家注意。

不同学校的试卷，看起来题目不一样，有的考数轴折叠，有的考动点运动，有的考新定义，还有的考数字规律。但仔细拆开以后，很多题目用到的其实是同一套数学知识和解题方法。

比如数轴，简单一点考两个数的大小比较，难一点考绝对值化简，再往后就是点的移动、数轴折叠、相遇追及，甚至几个点同时运动。

题目越来越复杂，但核心知识并没有发生太大的变化。

今天结合去年的试卷，和大家聊聊哪些内容需要重点复习，难题究竟难在哪里，以及考前这几天应该怎样安排。

先说基础。

从这几套试卷来看，有理数、整式加减是共同的重点，部分学校还考查了一元一次方程。虽然各校具体考试范围和分值有所不同，但有理数概念、数轴、混合运算、同类项、去括号、整式化简等内容都值得认真准备。

特别是有理数这一章，大家不要觉得简单。

相反数、倒数、绝对值、正负数这些概念，单独拿出来，可能谁都会。但一旦几个概念放到一起，或者换一种表达方式，就容易出现问题。

比如已知一个数的绝对值是5，这个数可能是5，也可能是−5。如果题目再增加一个大小关系，就要根据新的条件判断究竟取哪个值。

再比如，−a一定是负数吗？

当然不一定。如果a本身是负数，那么−a就是正数。

这些题目不需要复杂计算，却特别容易反映出同学们对基本概念的理解是否完整。

所以考前复习概念，不能只背定义，还要特别注意定义中的限制条件。遇到判断题，如果拿不准，可以尝试举一个特殊的例子，看看结论是否一定成立。

计算更要重视。

去年多套试卷都把有理数计算作为独立的解答题，有些试卷一道计算大题就有十几分。

比如滨湖卷中有这样一道计算题：

这道题并不难，但有几个地方容易出错。

首先，−2²=−4，而不是4；其次，(−3)²=9；最后，两个负数相除，结果是正数。

所以原式等于：

大家看，一道计算题真正容易出问题的，往往不是最后的加减，而是前面的乘方、符号和运算顺序。

我建议考前每天抽出15分钟左右，专门训练有理数混合运算。特别是负号、括号、乘方、分配律这些容易犯错的地方，要把运算规则真正弄清楚。

计算题不要图快。中间过程写清楚，往往比少写两步更有价值。

再说整式。

去年江阴期中卷有一道选择题，给出多项式：

已知化简后不含xy项，求m的值。

这道题怎么做？

首先把含xy的同类项合并，得到：

既然不含xy项，就说明这一项的系数必须等于0。

这道题真正需要掌握的，并不是多复杂的计算技巧，而是理解“不含某项”这一条件背后的数学意义。

类似的题目还有很多。

比如，题目告诉你一个代数式的值与x无关，那么化简以后，所有含x的非常数项的系数都应该为0。

再比如，已知a−2b=3，要求2a−4b−3的值。

这时候不必分别求出a、b，而是把原式改写成：

这就是我们课堂上经常讲的整体思想。

遇到整式问题，先观察结构，再决定怎样计算。能整体处理的，就不要把问题弄复杂。

如果学校已经学到一元一次方程，那么解方程、根据已知解求参数、列方程解决实际问题，也必须认真复习。

特别是去分母、去括号、移项这几个步骤，不能只求速度。去分母要注意方程两边每一项都乘到，移项要变号，去括号则要逐项检查。

解完方程后，如果时间允许，还可以把结果代回原方程检验一下。

这些基础题和中档题，是我们冲击高分首先要拿稳的分数。

再往后，就是大家比较关心的综合题。

我重点研究了一下去年几套试卷中比较有代表性的难题，发现数轴综合、规律探索、新定义问题很值得重视。

先说数轴。

去年江阴卷最后一道题，把数轴、折叠和往返运动结合在了一起。

题目开始给出两个条件：

因为绝对值和平方都不小于0，两个非负数的和等于0，就说明它们都等于0。

接下来题目要求把数轴折叠，使两个点重合，再研究折叠后对应点的位置，最后引入两个物体的往返运动。

不少同学看到这里，就觉得题目复杂了。

其实，分析这类题目，我们一直强调几个基本方法。

首先，把图画出来，确定各个点的位置。

其次，折叠后重合的两个点，到折点的距离相等。上面两个端点分别表示−10和4，所以折点表示的数就是它们的中点：

再往后，研究点的运动，要利用“路程=速度×时间”，把动点在不同时刻的位置表示出来。

如果某个点从表示a的位置出发，以每秒v个单位长度向右运动，那么t秒后它表示的数就是a+vt；如果向左运动，就是a−vt。

两个点之间的距离，则可以利用它们所表示的数之差的绝对值来表示。

遇到折返、相遇等情况，还要判断运动过程是否需要分段讨论。

这样一步步分析，原本看起来很长的题目，就可以拆成几个熟悉的小问题。

数轴综合题最关键的能力，不是计算有多快，而是能不能把图形变化转化成数量关系。

大家回去以后，可以把菁英班讲义中关于数轴距离、折叠、动点运动的相关例题重新找出来，特别是需要分类讨论的题目，一定要自己动手做一遍。

再看规律探索。

去年滨湖卷有一道三行数的问题。

第一行是：

第二行是：

第三行是：

题目要求设三行的第100个数分别为a、b、c，求a+b−6c的值。

很多同学第一反应是，先把第一行第100个数求出来。

其实完全没有必要。

仔细观察就会发现，第二行的每个数都比第一行对应的数大2，也就是b=a+2。

第三行的每个数恰好是第二行对应数的三分之一，也就是b=3c。

所以：

大家看，第100个数虽然很大，但我们根本不需要把它算出来。

这是这道题真正值得学习的地方。

同样，图形规律也不能只停留在数一数前面几个图形有多少个点、多少个小正方形，而要研究每增加一个图形，数量是怎样变化的，能不能用含n的代数式表示出来。

找到规律以后，还要代回前面几个简单的情况进行验证。

新定义题也是一样。

去年几套试卷中出现了特殊运算、特殊数、特殊方程等问题。

这些题目的名字可能从来没有见过，但同学们要记住一点：题目给出的新定义，就是解题规则。

首先把规则读懂，再把字母和数字对应起来。如果能够转化成普通的代数式，就尽量转化成我们熟悉的形式。

有些新定义题还需要分类讨论，特别是定义中存在不同条件、不同运算情况的时候，不能只考虑一种情形。

我们平时讲新定义题，反复强调的就是：先理解定义，再代入验证，最后归纳方法。

不要因为题目陌生，就觉得自己不会。

这些数轴综合、规律探索和新定义问题，虽然背景不同，但相关的解题方法，我们在菁英班讲义的专题训练中都已经涉及过。

当然，这并不是说考试会出现完全相同的原题，而是希望大家能够把已经学过的方法真正掌握。题目换一个背景、改变几个条件，仍然知道应该从哪里分析。

说到这里，我想特别叮嘱一下考前的复习安排。

我建议大家先把学校最近几次周练和单元检测拿出来，认真检查一遍。哪些题目是概念没理解，哪些是计算出错，哪些是不会分析，最好能够区分清楚。

如果是概念问题，就回到课本和基础例题；如果是计算问题，就进行针对性训练；如果是综合题没有思路，就重新研究老师课堂上讲过的分析过程。

接下来，再把菁英班讲义中的重点例题和错题过一遍。

特别是课堂上老师花了比较多时间讲解的数轴、绝对值、整式综合、规律探索和新定义题型，大家应该重点关注。

复习讲义时，我建议不要只是把答案翻出来看。

先遮住解答，自己重新做。做不出来，再回头研究课堂上讲过的方法。

做完以后，还可以问自己三个问题：

能够独立回答这些问题，比单纯记住一道题的解题步骤更重要。

如果有些题目忘记了，可以找我领取课堂回放，或者联系老师安排答疑。不要把不懂的问题一直拖到考试前一天。

对于基础比较扎实、准备冲击高分甚至满分的同学，建议考前把讲义中的综合题和典型变式再认真研究一遍。

但有一个前提：基础计算不能反复丢分。

我建议每天额外安排50分钟左右的针对性复盘：10分钟检查概念，15分钟练习计算，20分钟重做讲义中的典型题和变式题，最后5分钟回顾当天出错的地方。时间紧的同学可以适当调整，但不要省掉独立重做这一步。

如果离考试还有一周左右，前两天重点复盘有理数、数轴和计算；接下来两天集中处理整式、方程以及学校讲义中的错题；第五天复习规律探索、新定义和数轴综合；第六天进行一次限时模拟；最后一天主要检查错题和容易遗忘的知识，不建议再大量做陌生难题。

考试时，我还想提醒大家几句。

拿到试卷，先看清题目要求。特别是选择题中“正确的是”“错误的是”“不一定成立的是”，千万不要看错。

计算时，负号、括号、乘方和分数运算要格外留意。整式化简不要随意跳步，解方程要把必要过程写完整。

遇到压轴题，如果一时没有思路，不要慌，也不要在一道题上耗费过多时间。先把已知条件整理出来，画好图，把能够确定的数量关系写下来，再逐步分析。

即使最后一问暂时做不出来，前面能解决的问题也应该尽量完成。

考完以后，当然希望大家都能取得理想的成绩。但从数学学习的角度来说，我更希望大家能够通过这次复习，真正把初中数学的学习习惯建立起来。

以前总在计算上丢分的，希望这次能把符号和运算规则弄清楚。

以前遇到数轴综合题就害怕的，希望这次能学会先画图、再分析数量关系。

以前课堂上听懂了、课后却不会做的，希望这次能够通过讲义复盘，把老师讲过的方法变成自己的本领。

同学们，数学成绩的提高，并不完全取决于你做过多少道题。

有时候，一道题反复研究三遍，真正把方法弄明白，比匆匆忙忙再做十道新题更有价值。

最后几天，希望大家沉下心来，把学校的错题认真过一遍，把菁英班讲义中的重点题型重新做一遍。

考试时认真审题，规范计算，遇到难题沉着分析，能拿到的分数尽量不要丢。

祝大家期中考试顺利！