专项训练-解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题-河南青桐鸣2027届
- 2026-11-08 19:33:40
项训练-解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题-河南青桐鸣2027届
河南青桐鸣2026-2027学年高三上学期学情调研数学试卷
专项训练-解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题-#河南青桐鸣 2027届
“导语：圆锥曲线解答题，尤其是涉及“轨迹”、“中点”、“共线”的综合题，往往是噩梦。代数运算量大、逻辑链条长，稍有不慎便全盘皆输。 这道题目，出自河南青桐鸣2027届。它表面上考查的是椭圆弦中点轨迹，实际上隐藏着深刻的几何结构。 纯代数法，运算繁琐，极易出错。利用仿射变换，对这道题进行“降维打击”。
一、 解析几何圆锥曲线-与弦长、周长、距离、面积有关的范围(最值)问题-河南青桐鸣2027届
19.（河南青桐鸣2027届开学考）在平面直角坐标系中， 为坐标原点，，，
且椭圆 的右顶点与上顶点到直线 的距离相等。
(1) 求 的离心率。
(2) 若 为 内一点，且 三点不共线。
(i) 证明：过点 的椭圆的弦的中点所形成的轨迹与过点 的椭圆的弦的中点所形成的轨迹除 外有且仅有一个公共点，且该点在直线 上；
(ii) 若分别过 的椭圆的弦的中点所形成的轨迹两两相交于 及另一个点，且除 外所得的三个点互不相同且共线，求点 的轨迹方程。
【条件翻译】
| 核心模型 | |
| 几何转化 |
二、 第(1)问：基础送分，秒杀即可
【规范解答】由 得直线 的方程为 ，即 。 椭圆右顶点为 ，上顶点为 。
由题意，两点到直线 距离相等：
即 。
因为 ，所以 且 。
故 ，解得 。
由 ，
离心率 。
三、 第(2)(i)问： #中点弦轨迹 的证明
这一问是第(ii)问的基础，必须搞清楚“过定点的弦中点轨迹”是什么。
方法一：#点差法（通性通法）
解法思路： 设弦的中点为 ，利用点差法建立斜率关系。
完整推导：设过点 的弦端点为 ，中点为 。
则 。
在椭圆上：
两式相减：。
即 。
若 ，则弦斜率 。
又弦过点 和中点 ，故 。
联立得：。
整理得轨迹方程 ：
同理，过点 的弦中点轨迹方程 为：
求公共点：联立 和 ，两式相减：
这是一条过原点 的直线。
我们需要验证直线 的方程。。
直线 方程：
等等，这里相减得到的直线是公共弦所在直线（根轴）。题目说公共点在直线 上。
让我们重新审视轨迹方程。
。
。
相减得：。这是过原点的直线。
这说明两个轨迹（椭圆）相交于原点 和另一个点 。
点 必须满足相减后的方程，同时也必须在 上。
关键几何意义：过 的弦，如果弦就是直线 截椭圆所得的弦，设其中点为 。
因为 是过 的弦的中点，所以 。
因为 是过 的弦（即直线 ）的中点，所以 。
所以 是 和 的公共点。
又 显然在直线 上。
除 外，两个二次曲线最多有4个交点。但在本题结构下，除了原点，另一个交点就是直线 截椭圆的#弦中点 。
证毕。
四、 第(2)(ii)问：核心压轴，多法破局
这是本题的“题眼”。题目描述了三个轨迹两两相交的公共点 共线。
由(i)可知：
是直线 截椭圆所得弦的中点（ 与 的交点）。 是直线 截椭圆所得弦的中点（ 与 的交点）。 是直线 截椭圆所得弦的中点（ 与 的交点）。
题目转化为： 求点 的轨迹，使得直线 被椭圆截得的弦中点 共线。
方法一：代数硬算法（不推荐但需了解）
解法思路： 写出三个轨迹方程，两两相减求出交点坐标，利用三点共线斜率相等列方程。
简要步骤（参考）：由 ，椭圆方程简化为 。
轨迹方程简化为（消去 ）：
（注意 ，代入公式 ? 不对。
公式：。正确。）
（设 ）。
**求 **：。代入 。。 **求 **：。联立 求解（繁琐）。 利用 在直线 上，设 坐标参数化。 **求 **：。 共线条件：。 通过复杂的代数变形，最终得到 。
评价： 运算量极大，极易在通分、因式分解时出错。考场上不建议使用。
方法二：仿射变换 + 西姆松定理（最强解法，秒杀！）
解法思路： 利用仿射变换将椭圆变为圆，将“弦中点”转化为“垂足”，利用西姆松定理逆定理秒杀。
完整推导：
第一步：仿射变换
令 （因为 ，变换系数为 的倍数，这里为了计算方便取整数比）。
椭圆方程 变为圆 。
点坐标变换：
原点 （圆心）。
第二步：几何性质转化在圆中，弦的中点与圆心的连线垂直于弦。
是直线 截椭圆弦的中点 是直线 截圆弦的中点 。即 是 在直线 上的垂足。 同理， 是 在直线 上的垂足。 同理， 是 在直线 上的垂足。
第三步：利用西姆松定理题目条件： 共线。 仿射变换保持共线性（直线变直线，共线点仍共线）。 所以 共线。 这意味着：点 到 三边 的垂足共线。 根据西姆松定理（Simson Line）的逆定理：
“若一点到三角形三边的垂足共线，则该点必在三角形的外接圆上。
所以，点 在 的外接圆上。
第四步：求解轨迹 的外接圆过点 。 设圆方程为 。
过 。 过 。 过 。 圆方程为：。
点 在该圆上，代入坐标：
即 。
第五步：还原与验证
点 的轨迹方程为 。
这是一个椭圆（或圆，取决于系数）。
配方：。
题目要求 在椭圆 内。
。
轨迹上点满足 。
由柯西不等式或几何范围， 有最大值。
。
令 。
。
因为 ，所以 。
所以轨迹上的点都在椭圆 内部。
需剔除 三点（题目要求互不相同）。
当 与 重合时，轨迹退化。
方程 过 。
所以轨迹方程为 （除去 三点）。
五、 最优方法推荐与思维卡点分析
1. 方法横向比较
| 方法一（代数法） | ||||
| 方法二（仿射+西姆松） | 最推荐 |
最终推荐：方法二。它揭示了题目的几何本质。出题人设计 和 就是为了凑出仿射变换后的特殊位置（ 在坐标轴单位处）。
2. 思维卡点分析
卡点1：为什么 是弦中点？ 解答： 回顾第(i)问，过 的轨迹和过 的轨迹的交点，既在过 的弦中点集合里，也在过 的弦中点集合里。这意味着存在一条弦，既过 又过 （即直线 ），其中点就是公共点。 卡点2：如何想到仿射变换？ 解答： 看到 这种系数成比例的项，以及 ，应条件反射想到令 将椭圆变为圆。圆具有极好的对称性和垂径定理。 卡点3：西姆松定理是什么？ 解答： 三角形外接圆上一点，向三边作垂线，三垂足共线。本题是逆用：三垂足共线 点在圆上。这是高中数学竞赛常用定理，但在高考解答题中，如果时间不够，可以用“四点共圆”性质推导（ 共圆等）。
六、 母题归档与变式训练
1. 母题归档
一级知识点： 椭圆 二级知识点： 弦中点轨迹、仿射变换、三点共线 三级题型： 动点轨迹方程、几何性质综合 核心几何结构： 椭圆弦中点轨迹是过原点和定点的相似椭圆；仿射变换后对应圆的垂足。 对应二级结论： 过定点 的弦中点轨迹方程 。 适合学生层次： 高分学生、竞赛生
2. 变式训练
变式题 1（基础巩固）：已知椭圆 ，点 。求过点 的弦的中点轨迹方程。
考查点： 弦中点轨迹公式的直接应用。 解题方向： 代入公式 。
变式题 2（能力提升）：将本题中的椭圆改为圆 ，。若 为圆内一点，且 到直线 的垂足共线，求 的轨迹。
考查点： 西姆松定理的直接应用。 解题方向： 直接得出 在 外接圆上。外接圆过 ，方程 。
“结语：这道题是“代数几何化”的典范。 如果你只看到方程，你会陷入无尽的计算； 如果你看到几何结构（弦中点、垂足、共线），你会看到西姆松定理的优美身影。 高考数学不仅考计算，更考眼光。 #圆锥曲线定点定值问题 #高考数学 #高中数学我是码农Math李，我们下期再见！ #码农Math李
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