从＂背不等式＂到＂造不等式＂: 一道考研真题讲透这类定积分比大小

适用：数学一/数学二/数学三 

知识点：定积分比较性质、三角不等式、函数凸凹性、放缩法

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一、原题：三个量排顺序，答案是B

答案 B。这是定积分比大小的标准题型：同区间上被积函数大则积分大（积分比较性质），再配三角函数不等式放缩。

一个容易被忽略的严谨细节：x=0 处两个被积函数都没有定义，但

是可去间断点；补上定义后，积分与比较性质照常使用。教材一般略过，答题时心里有数即可。

二、教材的标准解法：两步，两步都要不等式

第1步|比较I₁与I₂： 用 tanx＞x

第 2 步｜比较 I₁与 1：放缩法，需要给tanx/x找一个上界

问题出在哪：第 1 步的 tanx＞x 属于sin x＜x＜tan x 家族[x∈(0,π/4)]，多数人还背得出；第 2 步的tanx＜4/π×x却是"端点连线 + 凸凹性"临场现造的放缩。系数 4/π 从哪来、为什么想到去构造 h(x)，教材往往一句"令 h(x)=……"就带过去了。背不住、想不起、考场上不敢用——这就是这篇文章要补的缺口。

三、不等式忘了？现场把它造出来

核心观念：不等式不是要背的知识点，是流程的产物。流程只有三步——构造函数、看导数符号、用起点值。

3.1  十秒重建 tan x>x

不用背，用一次导数就能把整串还原。

3.2 先定目标，再定上界：把4/π "算"出来

这才是笔记里最值钱的部分。别问"我该记得哪个不等式"，要问"我需要的上界必须长什么样"。

关于"凹"还是"凸"：同济教材把 f"＞0 称为凹（凹向上），另一些书称为下凸。名字会打架，几何事实只有一个：曲线弧位于两端点连线的下方。认准这一句，别在术语上丢分。

3.3 记一张卡片就够

把"记住结论"换成"记住这 3 步"，考场上任何一次放缩都能现场推。

四、其实根本不用碰 I₁ 和 1——30 秒秒杀流程

选择题有选择题的打法。笔记里那句"全程没碰 I₁ 到底比 1 大还是比 1 小这个真正麻烦的问题"，是全文最锋利的洞察。

唯一需要的事实：在 (0,π/4]上tanx＞x (3.1 节十秒可造 ）。 因为两个被积函数互为倒数，且被1分开：

严谨性补一句：排除法成立，靠的是"四个选项必有且仅有一个正确"这一选择题前提。若改成填空或解答题，要你写出 1＞I₁＞I₂ 的完整证明，第三节的构造法仍是必备底牌。秒杀用于选择题，构造用于解答题，两样都要带进考场。

五、这类题的通用套路 （可迁移到任何"积分比大小"

六、考场30秒清单

结语

这道题真正要考的从来不是 tan x>x，而是在工具不全时能不能自己把工具造出来。辅导书给你的是”鱼”（现成不等式、现成构造），这篇文章给的是”渔”：忘光了，用一次导数把 tan x>x造回来；要放缩，用 C=M/a把上界算出来；时间不够，用选项结构绕开最难的一步。把这三件事装进一张卡片，这类题就再也不会在考场上卡住你。