打响高一期末复习第一枪 | 29届复旦附中高一期中·全卷精析
- 2026-11-14 03:28:51
1 原卷与点评
原卷:
这套期中试卷的质量很不错.
一方面, 这份卷子覆盖了高一函数模块的重要技术: 参变量问题、复合函数换元、数形结合…
另一方面, 不少题比较经典, 原型为高考题.
此外, 复旦附中的教学顺序和不少学校是反着来的: 先函数性质、后初等函数. 因此可以拿这份试卷作为第一份期末复习.
2 全卷解析
已知全集为 , 集合
则 .答案:.
已知集合
则用列举法表示答案:.
解析
即有.若 , 则 的取值范围为 .
答案:.
这是一个典型的高中数学教学历史遗留问题. 求取值范围求的是充要条件, 因此本题实际上不能简单地用不等式性质求解.
事实上, 以上解答只验证了: 是题干条件的必要条件.
解析
设, 参量满足:
即 的取值范围为.不等式 的解集是 .
答案:.
解析
做等价变形:
故解集为函数 的零点为 .
答案:.
解析
记是上的严格增函数, 且. 故的唯一零点为.
已知 , 集合
且 , 则 的值是 .答案或.
解析
Case I: 若, 则, 符合.
Case II: 若, 则
综上的值为或.
已知关于 的方程
的两实根为 , 且则 .答案:.
解析
由韦达定理:
解得或. 回代验证判别式:解得.已知 , , 且
则的最小值为 .答案:.
解析
由题可知, 又因为, 故, 并且
当且仅当, 即时等号成立.综上, 的最小值为.
已知函数 的值域为 , 则函数
的最大值与最小值的差为 .答案:.
解析
令. 当取遍的定义域时, 取遍. 令.
因为, 所以
又因为因此最大、最小值之差为已知 , , 若对任意的正实数 , 恒有
则 的取值范围是 .答案:.
解析
满足:
综上, 的取值范围为.已知
若存在 , 使得则实数 的取值范围是 .答案:.
对于函数
记在上的值域为.解析
参量满足:
令即有解得. 即的取值范围为已知 , 若存在定义在 上的函数 , 使得对任意的 , 恒有
则 的取值范围是 .答案:.
解析
记. 参量需满足:
Case I:.此时为双射. 记. 若满足题意的函数存在, 则对任意, 有取为对任意, 有符合条件.
Case II:.
此时. 若满足题意的函数存在, 则对任意, 有定义为符合条件.
Case III:.
若满足题意的函数存在, 则对任意, 有而解得.
反过来, 若, 定义为, 即有符合条件.
综上, 的取值范围为.
下列函数中, 与 是相同函数的是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案: D
解析
D：由函数相等的定义得，D 与 是相同函数.
A 中 时 .
B、C 的定义域分别为 、，均与 的定义域不同. 故选 D.
如果 , 那么下列不等式中成立的是 ( )
A.
B.
C.
D.
答案: B
解析
B： 两边同乘负数 ，得 .
A、C、D：取 、，三个不等式均不成立. 故选 B.
已知集合 , , 则
是的 ( )A. 充分不必要条件
B. 必要不充分条件
C. 充要条件
D. 既不充分也不必要条件
答案: D
解析
记 . 与 取交只比较 内的元素，与 取并后两集合都包含整个 ，只需比较 外的元素.
充分性不成立. 取 、，两者与 的交集均为空集，但并集不同.
必要性不成立. 取 、，两者与 的并集均为 ，但交集不同.
故选 D.
关于定义域为 的函数 , 下列四个命题中, 正确命题的序号为 ( )
① 存在 上的严格增函数 使得
恒成立;② 存在 上的严格增函数 使得恒成立;
③ 使得恒成立的函数 存在且有无穷多个;
④ 使得恒成立的函数 存在且有无穷多个.
A. ①③
B. ②③
C. ②④
D. ②③④
答案: B
解析
① 若 严格增，则
严格增，而 严格减，故错误.② 取即得符合要求的严格增函数，故正确.
③ 先取便有进一步设则原等式恒成立，当且仅当对任意 ，有即 为奇函数. 特别地，可取不同的 给出不同的 ，故正确.
④ 若等式恒成立，分别取 、，得 与 ，矛盾，故错误. 综上，选 B.
已知 , 设集合
(1) 若 , 求 的取值范围;(2) 若 , 求 的取值范围.
答案: (1) (2)
解析
(1)
(2) 是以 、 为两个端点的闭区间；两端点重合时， 为单点集.因此:
已知实数 ,
(1) 讨论函数 在 上的单调性, 并用定义证明你的结论;(2) 若对任意的 ,恒成立, 求 的取值范围.
答案: (1) 详见解析 (2)
解析
(1) 任取 ，则
因故♣ 时, 在 上严格增;
♣ 时, 在上严格减;
♣ 时 在该区间上恒为 ，既增又减.
(2) 由 (1)， 在 上的最大值与最小值均可在端点取得，故条件等价于
已知 , 设
(1) 判断函数 的奇偶性, 并说明理由;(2) 已知 , 解不等式: ;
(3) 已知 , 设 在 上的最大值为 , 求 的表达式.
答案: (1) 详见解析;
(2) ;
(3)
解析
(1) 的定义域为 ，关于原点对称.
时，对任意 ，有
时，
故 为非奇非偶函数.(2) 时，
当 时，故 .综上，解集为
(3)Case I..
与为两个可能的最值候选点:
比较两个候选值，Case II..
在 上，，顶点 仍在区间内，故
Case III.. 顶点在区间右侧， 在 上严格增，故
综上，
某口服药剂进入人体后, 其药量随时间连续变化, 已知一次性服用 单位的药物 小时后, 该单位药物产生的有效药量为 , 根据临床观察, 服药后药物的吸收与代谢过程满足以下描述:
① 服药瞬间, 有效药量为 ;
② 在吸收期间 (), 有效药量逐渐上升, 并且在 时达到峰值 ;
③ 在代谢衰减期内 (), 有效药量随时间增大而减少, 最终趋近于 , 但始终大于 .
(1) 根据上述描述, 指出函数 的定义域、值域与单调区间;
为了便于计算, 假设: 在吸收期内, 函数 的图像是一条线段; 在代谢衰减期内, ( 为常数). 现有一患者需要服用总量为 () 个单位的该药物, 研究中发现, 体内有效药量不低于 个单位时, 才能得到有效治疗作用. 现提供两种给药方案:
方案一: 一次性服用全部剂量 ;
方案二: 将剂量平均分成 份, 在 时服用第一次药物, 该次服药产生的体内有效药量衰减至 个单位的时刻为 , 在 时再服用第二份药物 (假设两次服药互不影响, 任意时刻, 体内有效药量为多次服药单独产生的有效药量之和).
① 试求 的表达式, 并求出方案一的有效治疗时长 ;
② 求 , 并求出 时, 体内有效药量 关于时间的函数表达式, 进一步判断哪种方案能让体内药物起到有效治疗作用的时间更长, 并说明理由.
答案: 详见解析
解析
(1) 定义域为 . 吸收期内，有效药量由 连续上升至 ；衰减期内，有效药量始终在 内，故吸收期连续取遍 ，故值域为 . 严格增区间为 ，严格减区间为 .
(2) (i) 吸收期的线段连接 与 ，衰减期利用 得 . 故
(ii) 第一次服药在衰减期内有 ，故
当 时，将两次有效药量相加，得第一次服药的有效药量不低于 ，当且仅当 .第二次服药后，在吸收期令
有第二次服药同样能单独维持有效药量至服药后 小时，即 ，故 也有效. 方案二至少连续有效 小时，大于 小时，故方案二更长.对于定义在 上的函数 , 记集合
(1) 若 , 判断 和 是否属于 , 并说明理由;(2) 若 ,
① 判断 是否可能为偶函数, 并说明理由;
② 判断 是否可能为减函数, 并说明理由;
(3) 已知 的图像是连续曲线, 且 不为空集. 设命题 : 函数 满足 ; : 对任意的非零实数 , 关于 的方程无实数解. 判断 是 的什么条件 (充分不必要、必要不充分、充分必要、既不充分也不必要), 并说明理由.
答案: (1)
(2)、(3)详见解析.解析
直觉上, 就是的“历史最低点”构成的集合.
(1) 对任意 ，有
故 .而 且故 .
(2)(i) 因为 且 ，所以 ，故 不可能为偶函数.
(ii) 可能. 取下列减函数，其对应的 .
本题的本质即“区间上的连续单射是严格单调的”, 读者可参考26届虹口二模全卷精析.
等价于任意 都有
即 是单射.充分性. 即 在 上严格减，故 是单射， 成立.
必要性.
Step I. 连续函数性质.
固定步长 ．比较两点 与 的函数值，令 ．在 的左边取 ，此时差值为负．如果别处差值为正，连续变化的差值就会经过 ，使相距 的两点取到相同的函数值．
设 成立， 任取 ，令
由 知取 , 即有若存在, 使得, 则由的连续性可知:与矛盾, 因此Step II. 证明严格减. 任取 ，利用 Step I，取 ，得 . 故 在 上严格减，即 .综上， 是 的充要条件.
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