吉林大学2026年数学分析高等代数考研试题+北京大学清华大学数学分析期末考试题+解方程sinx=2026,cosx=2026
- 2026-09-20 01:17:22
吉林大学 2026 年数学分析真题
一、计算题
1.. 2.. 3.. 4.. 5.. 6. 设是由确定的隐函数，求. 7. 计算，其中是两个球的公共部分. 8. 计算第二型曲线积分，其中为圆周，方向取顺时针.
二、
当都大于时，求在球面上的最大值.
三、
证明函数项级数在上逐点收敛但不一致收敛.
四、
求数项级数的和.
五、
讨论参数对广义积分的敛散性影响，何时绝对收敛，何时条件收敛，何时发散？
六、
设在上有定义，且存在常数，使得对任意，都有
试证存在，使得在上一致连续.
七、
假设在上四次连续可微，设
(1) 证明：任给，都存在，使得
(2) 证明：存在，使得. (3) 定义. 证明：.
吉林大学 2026 年高等代数与解析几何真题
一、
设是复数域上的一个多项式，，且，证明：的任意非零根都落在复平面的单位圆上.
二、
设为阶幂等矩阵，即。证明： (1) 可以对角化. (2) .
三、
设和是内积空间的两组规范正交基，是的一个等距变换，并且，即生成的子空间与生成的子空间相等。证明：
四、
设阶上三角矩阵
(1) 求的极小多项式和 Jordan 标准形. (2) 证明：是的子空间，并求.
五、
设为阶实对称矩阵，证明：与合同当且仅当正定.
六、
在空间直角坐标系下，求平面内与直线垂直相交的直线的一般方程.
七、
在空间直角坐标系下，设和是如下两个球面：
求曲线绕轴旋转得到的曲面的方程.
八、
在空间直角坐标系下，设双曲抛物面的一般方程为. (1) 证明：对中任意一点，有两条直母线经过它. (2) 求中所有垂直相交的直母线的交点构成的图形的方程. 北京大学 2025-2026 学年秋季学期 数学分析（I）期末考试 markdown
数学分析（I）期末考试
北京大学 2025-2026 学年秋季学期
共 8 题，总分 100 分
(10 分) 判断下列命题的正误并简要论证.
(5 分) 上的周期函数如果有原函数，那么原函数也是周期函数. (5 分) 在 上可导且 单调，那么 . (12 分) 假设 ，且在 上有 . 取定 ，定义
请证明 .
(12 分) 计算不定积分
(12 分) 已知 是 上的凸函数，且在 趋于 时都具有斜渐近线. 证明: 在 上 Lipschitz 连续.
(12 分) 作函数 的图像. 请写出必要的过程. 所作图像应在定性层面正确体现函数的行为，并标示出关键的点和线.
(12 分) 设 上的函数 由参数方程
所确定. 请判断并论证 在 上各点处的可导性.
(14 分) 令 . 已知 在 上确定了唯一的隐函数 ，并且 在 上光滑 (无需证明这一陈述). 求 与 .
(16 分) 假设 定义在 上，且在 恒为 ，而在 上恒为 .
(10 分) 假设 在 上可微，请证明 . (6 分) 假设 ，请证明 . 北京大学数学科学学院 2026 年 数学分析（三）期末考试 markdown
北京大学数学科学学院数学分析(三)期末考试
2026 年 01 月 7 日 08:30-10:30
姓名__________ 学号__________ 全卷共 2 页，计 8 道大题，满分 100 分.
1. (每道小题2分，共16分) 判断下列命题的对错（不需给出理由）。
(1) 平面上任意有界闭区域总是可求面积的。 (2) 设 连续。若无穷重积分 收敛，则 也收敛。 (3) 设 ，。若 在 上可积，则 在 上也可积。 (4) 对任何的 ，广义积分 都发散。
以下(5)–(8)中，设 为 中区域，向量函数 为 的。 (5) 若曲线积分 在 内与路径无关，则存在可微函数 使得 . (6) 若存在可微函数 使得 ，则曲线积分 在 内与路径无关。 (7) 若曲线积分 在 内与路径无关，则在 内 . (8) 若在 内 ，则曲线积分 在 内与路径无关。
2. (14分) 计算曲线积分 ，其中
(1) 为 平面内的光滑 Jordan 曲线，内部包含原点，取逆时针方向。 (2) 为柱面 上的光滑 Jordan 曲线，且存在柱面上的光滑曲面 ，使得 ，取 的侧为柱面的外侧， 的定向相对于外侧为正向。
3. (10分)
设 . 求 的表面积。
4. (15分) 计算下面的累次积分：
5. (10分) 计算第二型曲线积分
其中 为 与 的交线，从 轴的正向看去为逆时针方向。
6. (10分)
设 为自然数，记
设 ，证明：
7. (10分)
设 . 为连续可微函数，并且 . 证明：
8. (15分) 设
(1) 证明： 在 上连续。 (2) 证明： 在 时可导。 (3) 证明： 在 处不可导。 区间再现公式 markdown
区间再现公式
若 连续，则有：
（右边令 即得左边）
本质都是“头到尾的和=尾到头的和”
例： 计算
解： 由区间再现公式得：
两积分相加得：
一、解方程：
解：由欧拉公式得：
两式相减得：
原方程化为：
令 ，则方程化为关于 的一元二次方程：
由求根公式得：
因为 ，所以
两边取自然对数：
由欧拉公式，（），故
代入得：
两边除以 ：
综上，原方程的解为：
二、解方程：
解：由欧拉公式得：
两式相加得：
原方程化为：
令 ，则方程化为：
由求根公式得：
因为 ，所以
两边取自然对数：
两边除以 ：
综上，原方程的解为：
