吉林大学 2026 年高等代数与解析几何真题
一、
设是复数域上的一个多项式，，且，证明：的任意非零根都落在复平面的单位圆上.
二、
设为阶幂等矩阵，即。证明： (1) 可以对角化. (2) .
三、
设和是内积空间的两组规范正交基，是的一个等距变换，并且，即生成的子空间与生成的子空间相等。证明：
四、
设阶上三角矩阵
(1) 求的极小多项式和 Jordan 标准形. (2) 证明：是的子空间，并求.
五、
设为阶实对称矩阵，证明：与合同当且仅当正定.
六、
在空间直角坐标系下，求平面内与直线垂直相交的直线的一般方程.
七、
在空间直角坐标系下，设和是如下两个球面：
求曲线绕轴旋转得到的曲面的方程.
八、
在空间直角坐标系下，设双曲抛物面的一般方程为. (1) 证明：对中任意一点，有两条直母线经过它. (2) 求中所有垂直相交的直母线的交点构成的图形的方程. 北京大学 2025-2026 学年秋季学期 数学分析（I）期末考试 markdown
数学分析（I）期末考试
北京大学 2025-2026 学年秋季学期
共 8 题，总分 100 分
- (5 分) 上的周期函数如果有原函数，那么原函数也是周期函数.
(12 分) 假设 ，且在 上有 . 取定 ，定义
请证明 .
(12 分) 已知 是 上的凸函数，且在 趋于 时都具有斜渐近线. 证明: 在 上 Lipschitz 连续.
(12 分) 作函数 的图像. 请写出必要的过程. 所作图像应在定性层面正确体现函数的行为，并标示出关键的点和线.
(12 分) 设 上的函数 由参数方程
所确定. 请判断并论证 在 上各点处的可导性.
(14 分) 令 . 已知 在 上确定了唯一的隐函数 ，并且 在 上光滑 (无需证明这一陈述). 求 与 .
(16 分) 假设 定义在 上，且在 恒为 ，而在 上恒为 .
- (6 分) 假设 ，请证明 . 北京大学数学科学学院 2026 年 数学分析（三）期末考试 markdown
北京大学数学科学学院数学分析(三)期末考试
2026 年 01 月 7 日 08:30-10:30
姓名__________ 学号__________ 全卷共 2 页，计 8 道大题，满分 100 分.
1. (每道小题2分，共16分) 判断下列命题的对错（不需给出理由）。
(1) 平面上任意有界闭区域总是可求面积的。 (2) 设 连续。若无穷重积分 收敛，则 也收敛。 (3) 设 ，。若 在 上可积，则 在 上也可积。 (4) 对任何的 ，广义积分 都发散。
以下(5)–(8)中，设 为 中区域，向量函数 为 的。 (5) 若曲线积分 在 内与路径无关，则存在可微函数 使得 . (6) 若存在可微函数 使得 ，则曲线积分 在 内与路径无关。 (7) 若曲线积分 在 内与路径无关，则在 内 . (8) 若在 内 ，则曲线积分 在 内与路径无关。
2. (14分) 计算曲线积分 ，其中
(1) 为 平面内的光滑 Jordan 曲线，内部包含原点，取逆时针方向。 (2) 为柱面 上的光滑 Jordan 曲线，且存在柱面上的光滑曲面 ，使得 ，取 的侧为柱面的外侧， 的定向相对于外侧为正向。
3. (10分)
设 . 求 的表面积。
4. (15分) 计算下面的累次积分：
5. (10分) 计算第二型曲线积分
其中 为 与 的交线，从 轴的正向看去为逆时针方向。
6. (10分)
设 为自然数，记
设 ，证明：
7. (10分)
设 . 为连续可微函数，并且 . 证明：
8. (15分) 设
(1) 证明： 在 上连续。 (2) 证明： 在 时可导。 (3) 证明： 在 处不可导。 区间再现公式 markdown
区间再现公式
若 连续，则有：
（右边令 即得左边）
本质都是“头到尾的和=尾到头的和”
例： 计算
解： 由区间再现公式得：
两积分相加得：
一、解方程：
解：由欧拉公式得：
两式相减得：
原方程化为：
令 ，则方程化为关于 的一元二次方程：
由求根公式得：
因为 ，所以
两边取自然对数：
由欧拉公式，（），故
代入得：
两边除以 ：
综上，原方程的解为：
二、解方程：
解：由欧拉公式得：
两式相加得：
原方程化为：
令 ，则方程化为：
由求根公式得：
因为 ，所以
两边取自然对数：
两边除以 ：
综上，原方程的解为：
