函数的连续性
(中南大学,2018) 设 在 上一致连续,且对任意 ,有 .则函数序列 在 上一致收敛于 0.
证明: 由 在 上一致连续,对任意给定的 ,存在 ,使得对任意 ,只要 ,就有
取一个充分大的自然数 ,满足 ,即 . 在 中取 个点:
其中 (). 此时,相邻两点的距离为
由 ,对任意,存在 ,使得当 时,有
令 ,则当 时,对所有 ,都有
任取 ,则存在某个 , 使得, 因此
由 的一致连续性,对任意 ,有
从而当 时,
上述 的选取仅依赖于 ,与 无关.因此,函数序列 在 上一致收敛于 0.
(华中师范大学,2020) 若函数 , 为常数.证明: 在 上一致连续; 在 上非一致连续.
证明: 在 上:由于
即极限存在且有限.根据连续函数在无穷区间一致连续的判定定理:若 在 上连续且 存在,则 在 上一致连续.
在 上: 使用反证法.若 在 一致连续,则其在右端点 处的右极限 必须存在且有限.
取序列 ( 充分大时),则:
这说明 不存在(趋于无穷),故 在 上非一致连续.
(四川大学,2020) 若 ,.试证: 在 内非一致连续,在 上一致连续.
证明: 在 内: 利用非一致连续的序列判别法.取
显然当 时,,且 .
又
则
故 在 内非一致连续.
在 上: 计算无穷远处极限:
由于 在 上连续且趋于有限极限,由定理直接得 在该区间一致连续.
(湖南师范大学,2020) 设函数 在 上具有有界的导函数 .证明: 在 上一致连续.
证明: 设 对所有 成立. 对任意 ,由 Lagrange 中值定理,存在 介于 之间,使得:
对任意 ,取 .当 时,有:
由定义知 在 上一致连续(满足 Lipschitz 条件).
(哈尔滨工业大学,2020) 若函数 在 上可导,证明以下两种情况均能导出 在 上一致连续: 在 上有界; 存在.
证明:情况1: 设 .对任意 ,利用 Cauchy 中值定理,考察 与 :
由此得 .
由于 在 上连续,故在 上一致连续.对 ,存在 ,使得当 时,.
从而 ,一致连续性得证.
情况2: 若 ,则在 的某个右邻域 内, 必有界(由极限的局部有界性).
由(1)可知 在 上一致连续.又 在 上连续(闭区间连续必一致连续).两个一致连续区间有重叠点 ,故 在整个 上一致连续.
(南开大学,2020) 判断 在 的一致连续性.
证明:在 处:
因此 可延拓至 上连续,因而在任何有限闭区间上一致连续.
在 处:
当 时,.
可见 .
由于 在 上一致连续(导数有界),且 与 之差在无穷远处趋于 ,故 在 上一致连续.
(华中科技大学,2020) 已知 在 一致连续, 在 连续,且 .证明: 在 上一致连续.
证明: 对任意 :
在无穷远处: 由 ,存在 ,使得当 时,.
利用 的一致连续性: 对 ,存在 ,使得当 时,.
则对 且 :
在有限区间: 在 上连续,故一致连续.存在 ,使得当 且 时,.
结论: 取 .对任意 且 ,则它们必同时属于 或同时属于 ,均有 .
