微分中值定理与导数应用
利用单调性证明不等式
(郑州大学, 2020; 华中师范大学, 2020)证明不等式
证明:令 ,由于 ,则 .原不等式等价于:
即证明:.
设 ,将其变形为:
对其求导得
设分子为 .继续对求导得
当 时,,故 在 上严格单调递增. 由于 ,故当 时,. 从而 在 上严格递增,有 .
因 ,故 在 上严格递增. 由 知,当 时,,即原不等式成立.
(长安大学, 2020)证明不等式 .
证明:方法 1 (拉格朗日中值定理):设 ,在区间 上应用中值定理,存在 :
左边即为 .由于 ,则 . 故 成立.
方法 2 (构造函数法):令 ,由于 ,则 . 原不等式等价于
设 ,则
当 时,,故 递增,,原式得证.
泰勒公式与导数估计
(华南理工大学, 2020)函数 在 上二阶连续可微,且 ,证明:.
证明:对任意 ,在 点处进行泰勒展开:
两式相减:
解出 并取绝对值:
由于 , 的最大值为 . 故 .
(西北大学, 2020)已知 在 上有 阶连续导数,且
证明:存在 ,使得
证明:设 .由泰勒公式及已知导数值为 0 的条件:
两式相减:
取绝对值:
令 则:
整理得:.
(天津大学,2020)设 二次可微
证明 .
证明:对 ,由泰勒公式:
两式相减得:
从而:
即 . 对右端关于 求极小值（均值不等式）,取 时:
一致连续性判定
(南开大学, 2020)设 有界且连续,
若 ,证明 在 上一致连续.
证明:(反证法) 假设 不一致连续. 则存在 及数列 使得 ,但 .
记 ,其中 为 的界. 当 充分大时,.
根据递推关系:
累加得
这与 矛盾（函数跨度最大为 ）.故 必一致连续.
