反常积分
(四川大学,2020)证明广义积分 发散.
证明:记 .由于被积函数非负,若证明其在 时趋向于无穷,只需证明其子数列 发散. 将积分区间按 进行分段,记:
其中 .
对每一项 进行估计:
由于级数 是调和级数,当 时发散,故由比较判别法知 .
综上, 发散.
(兰州大学,2020)讨论反常积分 的条件收敛与绝对收敛性.
解答：设 .由于被积函数在 内连续,我们需要讨论 （瑕点）和 （无穷端）两处的敛散性. 令
对于 ,令 ,则 .当 时 ；当 时 .
由此可见, 的敛散性等价于参数为 的 型积分.下面我们只需重点分析 的敛散性即可.
当 时： 因为 ,而 收敛,由比较判别法知 绝对收敛.
当 时： 使用 Dirichlet 判别法. 注意到
为避免 处的分母为零,我们考虑 部分. 令
其原函数有界. 而 在 上单调递减趋于 0. 由于
利用广义积分的补充判别法或通过分部积分：
可知 收敛.
因为
在 时发散,而 收敛. 故 条件收敛.
当 时： 当 时,,其振荡不趋于 0 且幅值不减,由柯西收敛准则知积分发散.
根据上述分析, 对应 , 对应 .
绝对收敛： 需 和 同时绝对收敛：
故原积分 在任何 取值下均不绝对收敛.
收敛（包括条件收敛）： 需 和 同时收敛：
在此范围内,由于不可能两者同时绝对收敛,故 必为条件收敛.
发散： 当 （ 发散）或 （ 发散）时,原积分发散.
综上, 当时,反常积分条件收敛； 其他情况下,反常积分发散.
(中国科学技术大学,2020)讨论广义积分 的绝对收敛性与条件收敛性.
解答:将积分分为 和 .
对于 （瑕点为 0）: 当 时,
- 由于在 上被积函数保持正号（对于 ）,故收敛即绝对收敛.
对于 （无穷积分）:
- 条件收敛: 当 时,由 Dirichlet 判别法（ 有界,）知收敛.利用 估计知 发散.
- 发散: 当 时,由柯西准则知发散（ 时被积函数不趋于 0）.
对于源积分, 若绝对收敛:需 绝收且 绝收
若条件收敛:需 均收敛,且至少一个非绝收. 由上可知需 .当 时, 条件收敛,故整体条件收敛.
若发散:（ 发散）或 （ 发散）.
综上, 时绝对收敛； 时条件收敛； 时发散.
(厦门大学,2020)已知 在 上连续,且
证明:
证明:根据广义积分定义,记
其中 .
对第一项令 ,第二项令 :
利用积分的可加性进行拆分和重组:
对两个积分使用积分第一中值定理.
存在 ,使得
当 时,,由 连续性知 .
存在 ,使得
当 时,,由已知极限知 .
取极限得
