数分考研真题--函数列与函数项级数

函数列与函数项级数

(安徽大学,2020) 已知

1. 证明:函数列  在  上收敛于 0;
2. 求  的取值范围,使得  在  上一致收敛于 0.

证明:

1. 我们要证明对任意固定的 ,都有 .

   当  时,,显然 .

   当  时,考虑连续变量  的极限 .若 ,分子  趋于 0 或常数,分母  趋于 （因为 ）,极限显然为 0.若 ,设正整数 .根据洛必达法则,对  连续求导  次:

   由夹逼定理,由于 （当  时）,故该极限为 0.

   根据归结原理,令 ,得 .函数列在  上点点收敛于 0.

2. 记. 求  的极值点: 计算导数:

   令 ,得到在  内唯一的驻点 . 当  时,,函数单调递增; 当  时,,函数单调递减. 因此,最大值为:

   根据一致收敛的定义,需满足 . 若 ,则 ,,一致收敛; 若 ,则 ,不一致收敛; 若 ,则 ,不一致收敛.

   综上, 的取值范围是 .

(中国科学技术大学, 2020)设  在  上可微,且存在  使得对所有的  及所有的  都有 .若  在  上点点收敛,证明: 在  上一致收敛.

证明:利用 Cauchy 一致收敛准则.需证:, , , , .

1. 利用微分中值定理,对任意 ,有这说明  是等度连续的.
2. 取 .将  分割为有限个点 ,使得每个小区间的长度 .
3. 由于  在有限个点  上均收敛,故对该有限个点,存在 ,使得当  时:
4. 对于任意 ,必落入某个小区间 .

故  在  上一致收敛.

(中国海洋大学, 2020)若函数列  满足:(i)  且连续,;(ii)  在  上一致收敛于 0.证明:对  上的任意连续函数 ,有 .

证明:考虑差值

由于 ,只需证明:

,由  在  处连续,存在 ,使得当  时,.

将积分区间作如下拆分

设  在  上的最大幅值为 .由于  于 ,存在 ,使得  时 .

综上,通过放大不等式可得该极限为 0.

(湖南大学, 2020)已知 .

1. 证明  在  上一致收敛;
2. 求 ;
3. 在  上是否可以逐项求导？

解答:

1. 由于 ,而 -级数  收敛（）,由 Weierstrass M-判别法,原级数在  上一致收敛.
2. 由于级数一致收敛且项连续,可以交换积分与求和符号:
3. 求导项为 . 在  的任意闭子区间  上:
• 部分和  满足 ,一致有界.
• 数列  单调趋于 0. 由Dirichlet 判别法, 在  上一致收敛. 根据逐项求导定理,在  内可以逐项求导,且 .

(华东师范大学, 2020)设  在  上连续且 .已知  收敛于 .证明: 在  上有最小值.

证明:记部分和 .

1. 单调性:由于 ,对于每个 ,数列  是单调不减的,且 .
2. 下半连续性:每个  作为有限个连续函数之和,在  上是连续的.由于 ,且  连续,由分析性质可知  是下半连续的.
3. 最值证明（反证法）: 设 .取序列  使得 . 由波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理,存在子列 . 对于固定的 ,有 . 令 ,由于  连续:上述不等式  对所有  成立,令 :又由下确界定义 ,故必有 . 即  在  处取得最小值.