高数下期中考试真题

(8分) 若函数  具有一阶连续偏导数，证明  的充要条件是 。

解

• • 必要性：
  给定函数 ，计算其偏导数：

  简化得：

  故 。

• • 充分性：
  若 ，则 。
  下面给出三种证明方法。

  方法一（特征线法）
  方程化为特征方程：

  由 ，积分得 ，即 。
  由 ，得 。
  故通解为 ，其中  为任意一阶可导函数。

  方法二（变量代换）
  令 ，则 ，记 。计算偏导数：

  代入方程：

  由于 ，故 ，即  与  无关，只依赖于 。因此存在函数  使得

  方法三（极坐标法）
  令 。则

  原方程  化为

  故 ，即  不随  变化，只与  有关。而 ，所以  可表示为  的函数：。

• • 结论： 函数  当且仅当满足 。