2026年数学高考押题试卷

2026 新高考数学押题卷（A4 打印版），难度严格按：基础 65% + 提高 20% + 压轴 15%；满分 150 分，时间 120 分钟；含答案 + 详细解题思路，五一自测、查漏补缺刚好可用。

2026 年普通高等学校招生全国统一考试（数学押题卷）考试时间：120 分钟 满分：150 分一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分）1. 已知集合 A=\{x\mid 1<x\leq 3\}，B=\{x\mid x^2-5x+6\geq 0\}，则 A\cap B=（ ）A. (1,2]  B. [2,3]  C. (1,3]  D. (-\infty,2]\cup[3,+\infty)2. 复数 z=\dfrac{2+4\text{i}}{1-\text{i}}，则 \overline{z} 的虚部为（ ）A. -3  B. 3  C. -1  D. 13. 已知向量 \boldsymbol{a}=(1,2)，\boldsymbol{b}=(m,-1)，若 \boldsymbol{a}\perp\boldsymbol{b}，则 m=（ ）A. -2  B. 2  C. -\dfrac{1}{2}  D. \dfrac{1}{2}4. 已知 \sin\alpha=\dfrac{3}{5}，\alpha\in\left(\dfrac{\pi}{2},\pi\right)，则 \cos\left(\alpha+\dfrac{\pi}{4}\right)=（ ）A. -\dfrac{\sqrt{2}}{10}  B. \dfrac{\sqrt{2}}{10}  C. -\dfrac{7\sqrt{2}}{10}  D. \dfrac{7\sqrt{2}}{10}5. 已知等差数列 \{a_n\} 中，a_2=3，a_5=9，则 S_7=（ ）A. 28  B. 35  C. 42  D. 496. 某几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为（ ）A. \dfrac{4\pi}{3}  B. \dfrac{8\pi}{3}  C. 4\pi  D. 8\pi7. 已知函数 f(x)=\begin{cases}2^x,&x\leq 0\\\log_2x,&x>0\end{cases}，则 f\left(f\left(\dfrac{1}{2}\right)\right)=（ ）A. \dfrac{1}{2}  B. 2  C. -1  D. 18. 已知抛物线 y^2=2px(p>0) 的焦点为 F，准线为 l，点 A 在抛物线上，AM\perp l 于 M，若 |AF|=4，\angle MAF=60^\circ，则抛物线方程为（ ）A. y^2=2x  B. y^2=4x  C. y^2=6x  D. y^2=8x二、多项选择题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）9. 关于函数 f(x)=\sin\left(2x-\dfrac{\pi}{3}\right)，下列说法正确的有（ ）A. 最小正周期为 \piB. 图象关于直线 x=\dfrac{\pi}{3} 对称C. 在区间 \left[-\dfrac{\pi}{12},\dfrac{5\pi}{12}\right] 上单调递增D. 图象可由 y=\sin2x 向右平移 \dfrac{\pi}{3} 个单位得到10. 已知 a>0，b>0，且 a+b=1，则下列不等式成立的有（ ）A. ab\leq\dfrac{1}{4}  B. \dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}\geq 4C. a^2+b^2\geq\dfrac{1}{2}  D. \sqrt{a}+\sqrt{b}\leq\sqrt{2}11. 已知圆 C:(x-1)^2+(y-2)^2=25，直线 l:(2m+1)x+(m+1)y-7m-4=0，则（ ）A. 直线 l 恒过定点 (3,1)B. 直线 l 与圆 C 恒相交C. 直线 l 被圆 C 截得的弦长最大值为 10D. 当 m=0 时，圆 C 关于直线 l 对称的圆方程为 (x-2)^2+(y-1)^2=25三、填空题（本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分）12. 二项式 \left(\sqrt{x}-\dfrac{1}{\sqrt{x}}\right)^6 的展开式中，常数项为______。13. 已知函数 f(x)=x^3-3x^2-9x+2，则 f(x) 的极小值为______。14. 已知双曲线 \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0,b>0) 的一条渐近线方程为 y=2x，则双曲线的离心率为______。四、解答题（本题共 5 小题，共 80 分）15.（本题满分 14 分）在 \triangle ABC 中，角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c，已知 a=2，b=3，\cos C=\dfrac{1}{3}。（1）求 c 的值；（2）求 \sin A 的值。16.（本题满分 14 分）已知数列 \{a_n\} 是递增的等比数列，且 a_1+a_4=9，a_2a_3=8。（1）求数列 \{a_n\} 的通项公式；（2）设 b_n=\log_2a_n+1，求数列 \{b_n\} 的前 n 项和 S_n。17.（本题满分 16 分）如图，在四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 是矩形，PA\perp 底面 ABCD，PA=AD=2，AB=1。（1）求证：PD\perp 平面 PAB；（2）求二面角 P-BD-C 的余弦值。18.（本题满分 16 分）某工厂生产一种产品，质量指标值 X 服从正态分布 N(100,10^2)。（1）求质量指标值 X 在 (90,110) 内的概率；（2）现从该工厂生产的产品中随机抽取 10 件，记质量指标值在 (80,120) 内的产品件数为 Y，求 Y 的分布列与数学期望。（参考数据：若 X\sim N(\mu,\sigma^2)，则 P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx 0.6827，P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx 0.9545）19.（本题满分 20 分）已知函数 f(x)=x^2-2x+2a\ln x(a\in\mathbb{R})。（1）若 a=1，求 f(x) 在 (1,f(1)) 处的切线方程；（2）若 f(x) 有两个极值点 x_1,x_2(x_1<x_2)，求 a 的取值范围，并证明：f(x_2)>-\dfrac{3}{2}。 参考答案及解题思路一、单项选择题1. B- 思路：B=\{x\mid x\leq 2或x\geq 3\}，A=(1,3]，交集为 [2,3]。2. A- 思路：z=\dfrac{(2+4\text{i})(1+\text{i})}{2}=-1+3\text{i}，\overline{z}=-1-3\text{i}，虚部 -3。3. B- 思路：\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{b}=m-2=0\Rightarrow m=2。4. C- 思路：\cos\alpha=-\dfrac{4}{5}，和角公式：\cos(\alpha+\frac{\pi}{4})=\cos\alpha\cos\frac{\pi}{4}-\sin\alpha\sin\frac{\pi}{4}=-\frac{7\sqrt{2}}{10}。5. D- 思路：公差 d=2，a_1=1，S_7=\dfrac{7(1+13)}{2}=49。6. B- 思路：圆锥，底面半径 2，高 2，体积 V=\dfrac{1}{3}\pi r^2h=\dfrac{8\pi}{3}。7. A- 思路：f(\frac{1}{2})=-1，f(-1)=\frac{1}{2}。8. B- 思路：\triangle MAF 为等边三角形，p=2，方程 y^2=4x。二、多项选择题9. AC- 思路：B：对称轴 2x-\frac{\pi}{3}=k\pi+\frac{\pi}{2}，x=\frac{5\pi}{12}+\frac{k\pi}{2}，不关于 x=\frac{\pi}{3} 对称；D：应向左平移 \frac{\pi}{6}。10. ABCD- 思路：均值不等式全成立。11. ABC- 思路：D：对称圆应为 (x-2)^2+(y-3)^2=25。三、填空题12. -20- 思路：通项 T_{r+1}=C_6^r(\sqrt{x})^{6-r}\left(-\frac{1}{\sqrt{x}}\right)^r=(-1)^rC_6^r x^{3-r}，令 3-r=0\Rightarrow r=3，常数项 -C_6^3=-20。13. -25- 思路：f'(x)=3x^2-6x-9=3(x-3)(x+1)，极小值点 x=3，f(3)=-25。14. \sqrt{5}- 思路：\dfrac{b}{a}=2，e=\dfrac{c}{a}=\sqrt{1+\left(\dfrac{b}{a}\right)^2}=\sqrt{5}。四、解答题15.（1）c=\sqrt{5}- 余弦定理：c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=4+9-2\times2\times3\times\dfrac{1}{3}=9\Rightarrow c=\sqrt{5}。（2）\sin A=\dfrac{\sqrt{5}}{3}- \sin C=\dfrac{2\sqrt{2}}{3}，正弦定理：\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{c}{\sin C}\Rightarrow\sin A=\dfrac{a\sin C}{c}=\dfrac{\sqrt{5}}{3}。16.（1）a_n=2^{n-1}- a_2a_3=a_1a_4=8，a_1+a_4=9，递增得 a_1=1,a_4=8，公比 q=2。（2）S_n=\dfrac{n(n+3)}{2}- b_n=n，等差数列求和。17.（1）证明- PA\perp AD，AB\perp AD，PA\cap AB=A，AD\perp 平面 PAB，PD\subset 平面 PAD，故 PD\perp 平面 PAB。（2）\dfrac{\sqrt{6}}{3}- 建系：A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0,2)，平面 PBD 法向量 \boldsymbol{n_1}=(2,1,1)，平面 BCD 法向量 \boldsymbol{n_2}=(0,0,1)，余弦值 \dfrac{|\boldsymbol{n_1}\cdot\boldsymbol{n_2}|}{|\boldsymbol{n_1}||\boldsymbol{n_2}|}=\dfrac{\sqrt{6}}{3}。18.（1）0.6827- \mu=100,\sigma=10，P(90<X<110)=P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx0.6827。（2）Y\sim B(10,0.9545)，E(Y)=9.545- P(80<X<120)=P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx0.9545，二项分布期望 np=9.545。19.（1）y=2x-1- a=1，f(x)=x^2-2x+2\ln x，f'(x)=2x-2+\dfrac{2}{x}，f'(1)=2，f(1)=-1，切线方程 y=2x-1。（2）0<a<\dfrac{1}{2}，证明略- f'(x)=2x-2+\dfrac{2a}{x}=\dfrac{2x^2-2x+2a}{x}，有两正根 \Rightarrow\Delta>0,a>0\Rightarrow0<a<\dfrac{1}{2}；x_2\in\left(\dfrac{1}{2},1\right)，f(x_2)=x_2^2-2x_2+2a\ln x_2，代入 a=x_2-x_2^2，得 f(x_2)=x_2^2-2x_2+2(x_2-x_2^2)\ln x_2，令 g(x)=x^2-2x+2(x-x^2)\ln x，g'(x)<0，g(x)>g(1)=-1>-\dfrac{3}{2}。