学习分享|三模试卷简评兼高考的最后叮嘱

前五小题送分题，一定要确保全对。第2题用了一个小技巧：两个虚数相除再计算模长等于先计算模长再相除。第3题计算多项式中的特定项的技巧在上一篇二模的推送中提到过。

第6、7题略有难度。6考察了正态分布的对称性和基本不等式的操作需要一定的知识积累。

7则是计数问题。因为三个整数a<b<c构成等差数列时，它们的和为3b，一定是3的倍数。所以样本空间为三个数之和为3的倍数，事件为这三个数构成等差数列。

先计算任取三个数，和为3的倍数的总个数：将1～18按照除以3的余数分为整除、余1、余2三组，每组6个。则三个数之和为3的倍数时，只有以下两种情况：从同一组中选三个，从三个组中分别选一个。

而计算三个数构成等差数列的情形时，因为b=（a+c）/2为整数，因此a、c必须同奇偶。而当首项a、末项c确定时，b也随之确定了。因此我们只需要计算符合条件的（a，c）组数。因为a，c同奇偶，所以组数为从9个奇数取2个，以及从9个偶数中取2个。

第8题是一个经过适当变形的向量最值问题。通过转化之后变为求线段IP长度的最小值，剩下的就是一些放缩，把点P这个相对难分析的“两动点的中点”，转化到位于已知函数的点N上。

第9、10是比较基础的题目。10中正方体里面的一些点线关系用建系可能更方便证明。

11是圆锥曲线的综合题目，关键在于怎么翻译圆与椭圆相切的条件。但是需要注意的是圆与椭圆有两个交点并不等价于圆与椭圆相切。这也是A选项易错判的原因。其他的解题过程都在下面写明了。

填空题的难度不大。13运用了等比数列前n项积的性质，可以类比等比数列的前n项和。14题看起来难，实际上把已知条件翻译成式子写出来，化简一下就可以得出答案了。这题的难点可能是很多同学对这里的一些指对互化不熟悉。

第15题是比较公式化的解三角大题。（1）看式子结构，余弦比较多，不适合化成边整理。所以这里考虑用正弦定理把边变成角度来化简。

（2）用余弦定理写出与a有关的关系式，结合三角形两边之和大于第三边和a为整数解出a，剩下的就很简单了。

16题考查基本的导数的应用。（2）是一个简单的端点效应问题。函数在x=1时等于0，在大于等于1时恒不小于0。说明函数应该在1附近单调不减。所以要判断x=1附近导数的性质。注意书写：证明出a≤1成立后只是必要条件，还需要说明a>1时不恒成立。

17题是比较综合的立体几何问题。难点可能在（3）中对两个二面角正切值的转化。

18题（1）（2）都比较简单，（2）注意讨论哪个角是直角，有多个解。（3）小问改编自教育部命题的2021年八省适应性联考的21题。这里的思路也基本照搬了那边的解答。当然如果不熟悉也可以尝试证明两倍的角PAF等于角PFA，具体证法是分别表示出直线PA、PF的斜率。斜率就是倾斜角的正切值。后面用正切值的二倍角公式证明两倍的角度关系即可。其实我觉得难点在于不知道如何转化PF与外接圆相切这个命题。

19题是一个非常新颖的数列与向量结合的大题。综合性很强。（1）①小问的分数每个人都应该拿到。

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