改编最难考研数学真题的证明题,考研学生能否独立解决?
- 2026-11-10 03:09:36
📚题目
🔍分析
❝我们今天带来笔者的好盆友“狗哥”根据考研数学真题进行改编的原创题,感兴趣的读者可以猜一猜是根据哪个题改编的.
❝看过笔者下面的证明可以发现,此题目连续性是过于强的,我们可以用介值性代替连续性,其思想类似“单射加介值性可以推出严格单调”
🧠解答
必要性显然,我们这里主要证明充分性.
充分性:考虑反证法,假设在并非严格递增,那么一定存在两点使得.
1. 若
1.1 若对任意的都有,那么我们在区间上任取两个点,此时就有
与题设矛盾.
1.2 若存在一点使得,不妨设,因为
故由介值定理可知存在使得
于是就有
与题设条件矛盾.
2. 若, 因为
由介值定理可知存在使得
因为
再次使用介值定理可知存在使得
于是我们有
这与题设条件矛盾,故对任意的都有即在上是严格递增的.
于是我们完成了证明,怎么样是不是很简单呢！✨
1
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