2024研究生考试数学二真题

一、选择题（1–10）

1 间断点

• 知识点：间断点分类、极限、幂指函数极限

• 考点：第一类（可去/跳跃）、第二类（无穷/振荡）判定；u^v \to e^{v\ln u}
2 参数方程求导 + 导数定义

• 知识点：参数方程求导、导数定义、极限

• 考点：\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{y'(t)}{x'(t)}；导数定义式极限 \lim_{x\to\infty}x[f(a+\frac{b}{x})-f(a)]=b f'(a)
3 变限积分、奇偶性

• 知识点：变上限积分、奇偶函数判定

• 考点：F(-x)=\pm F(x)；复合函数奇偶性；\int_0^{g(x)} f(t)dt 的奇偶性

4 数列收敛/发散

• 知识点：数列极限、发散、反例、反证法

• 考点：发散数列组合（加减倒数、指数、双曲型）收敛性；反证法证发散

5 多元函数偏导连续性、可微性

• 知识点：偏导数、偏导连续性、可微定义

• 考点：偏导极限不存在→偏导不连续；可微判定：\lim \dfrac{\Delta f-f_x\Delta x-f_y\Delta y}{\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}}=0
6 二重积分交换积分次序

• 知识点：二重积分、交换次序、区域画图、反三角函数

• 考点：x: \pi/6\to\pi/2,\; y:\sin x\to1 交换为 y:1/2\to1,\; x:\pi/6\to\arcsin y
7 反常积分收敛性

• 知识点：反常积分、比较判别法、p-积分

• 考点：

◦ (1) \int f^2 收敛 \nRightarrow\int f 收敛

◦ (2) p>1,\;x^p f(x)\to C\Rightarrow\int f 收敛

◦ (3) \int f 收敛 \nRightarrow x^p f(x) 有极限

8 矩阵运算、初等矩阵、逆矩阵

• 知识点：矩阵乘法、转置、逆、初等矩阵、分块对角

• 考点：P^TAP^2 求 A；初等矩阵的逆；P,P^T,P^2,(P^2)^{-1}
9 伴随矩阵、秩、AB=O
• 知识点：伴随矩阵、秩、零矩阵、AB=O\Rightarrow r(A)+r(B)\le n
• 考点：A(A-A^*)=O,\;A\neq A^*；A^2=O\Rightarrow r(A)\le2；排除 r=0
10 可交换矩阵、特征值、对角化

• 知识点：矩阵可交换、特征值、特征向量、对角化

• 考点：AB=BA，A 有两不等特征值 \Rightarrow B 可对角化；充分不必要