2023年考研数二真题解析(刷题版)

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一、选择题

1～10 小题，每小题 5 分，共 50 分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项最符合题目要求。

1

曲线

的斜渐近线方程为（ ）。

A. 

B. 

C. 

D. 

答案： B

解析：

由

可知斜渐近线斜率为 1。

又

故斜渐近线为

2

函数

的一个原函数为（ ）。

A.

B.

C.

D.

答案： D

解析：

当  时，

当  时，

原函数应在  处连续。取 ，则右侧取值为 1，因此左侧应取 。故选 D。

3

已知数列 ， 满足

则当  时，（ ）。

A.  是  的高阶无穷小

B.  是  的高阶无穷小

C.  与  是等价无穷小

D.  与  是同阶但不等价的无穷小

答案： B

解析：

由  且 ，知  单调递减有极限。设极限为 ，则

故 。

同理， 且 ，故 。

再看阶：

因 、，故

所以  是  的高阶无穷小。

4

若微分方程

的解在  上有界，则（ ）。

A. 

B. 

C. 

D. 

答案： C

解析：

特征方程为

若有实根，或有重根，或复根实部 ，通解中都会出现指数增长项，因此不可能在整个  上有界。

故只能是纯虚根

即

5

设函数  由

确定，则（ ）。

A.  连续， 不存在

B.  存在， 在  处不连续

C.  连续， 不存在

D.  存在， 在  处不连续

答案： C

解析：

当  时，

故

当  时，

故

所以

由左右导数可得

且

从而  在  处连续。

但

故  不存在。选 C。

6

若函数

在  处取得最小值，则 （ ）。

A. 

B. 

C. 

D. 

答案： A

解析：

令 ，则

对  求导，

令 ，得

故选 A。

7

设函数

若  没有极值点，但曲线  有拐点，则  的取值范围是（ ）。

A. 

B. 

C. 

D. 

答案： C

解析：

有

“没有极值点”等价于

故判别式非正：

又

“有拐点”要求二次式有两个不同实根，即

综上，

故选 C。

8

设  为  阶可逆矩阵， 为  阶单位矩阵， 为矩阵  的伴随矩阵，则

（ ）。

A.

B.

C.

D.

答案： D

解析：

设

则

又由分块矩阵求逆可得

因此

故选 D。

9

二次型

的规范形为（ ）。

A. 

B. 

C. 

D. 

答案： B

解析：

对应矩阵为

其特征多项式为

故特征值为

所以规范形为

故选 B。

10

已知向量

若  既可由  线性表示，也可由  线性表示，则 （ ）。

A.

B.

C.

D.

答案： D

解析：

设

等价于求两组向量张成空间的交。联立后行化简得参数解

于是

故选 D。

二、填空题

11～16 小题，每小题 5 分，共 30 分。

11

当  时，函数

与

是等价无穷小，则

答案：

解析：

展开得

故

又

由等价无穷小得

所以

12

曲线

的弧长为

答案：

解析：

由微积分基本定理，

故弧长为

这是半径为 2 的圆在区间  上的上半弧长度积分。计算得

13

设函数  由

确定，则

答案：

解析：

先代入 ，得

故 。

对原式对  求偏导：

代入  得

再对上式对  求导：

代入  与 ，得

故

14

曲线

在  对应点处的法线斜率为

答案：

解析：

由  得

解得对应点为 。

两边求导：

代入  得

故法线斜率为

15

设连续函数  满足

则

答案：

解析：

由

得

对第二项令 ，则

再利用

可消去  与 ，最终得

16

已知线性方程组

有解，其中  为常数。若

则

答案：

解析：

原方程组有解，故增广矩阵与系数矩阵秩相同，从而相应的 4 阶行列式为 0：

按最后一列展开得

已知第二个行列式等于 4，因此

故所求为

三、解答题

17～22 小题，共 70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17（本题满分 10 分）

设曲线 （）经过点 ，且  上任一点  到  轴的距离等于该点处切线在  轴上的截距。

1. 求 ；
2. 在  上求一点，使该点处的切线与两坐标轴所围三角形的面积最小，并求此最小面积。

解析：

（1）求曲线方程

点  处切线方程为

令 ，得切线在  轴上的截距为

由题意，

即

解此一阶线性方程得

再由点  在曲线上，得

故

（2）求最小面积

设曲线上点为

则

该点切线方程为

令 ，得与  轴交点横坐标

令 ，得与  轴交点纵坐标

故三角形面积为

求导得

令 ，得

此时取得极小值，故最小面积为

18（本题满分 12 分）

求函数

的极值。

解析：

先求偏导：

令

得驻点为

再求二阶偏导：

• 在  处，

  故

  不是极值点。

• 在  处，

  故

  为极小值点。

因此函数在

处取得极小值，且极小值为

19（本题满分 12 分）

已知平面区域

1. 求  的面积；
2. 求  绕  轴旋转所成旋转体的体积。

解析：

（1）面积

面积为

令 ，则

（2）体积

旋转体体积为

裂项得

故

20（本题满分 12 分）

设平面有界区域  位于第一象限，由曲线

与直线

围成，计算

解析：

作极坐标变换

则边界化为

且

原积分变为

约去  后得

而

所以

令 ，则

故

21（本题满分 12 分）

设函数  在  上具有二阶连续导数。证明：

1. 若 ，则存在 ，使得
2. 若  在  内取得极值，则存在 ，使得

解析：

（1）证明存在 

由带拉格朗日余项的泰勒公式，

两式相加得

由于  连续，介值性表明存在

使得

（2）证明存在 

设  是极值点，则

分别在点  处作泰勒展开：

两式相减得

取

则

又

故

证毕。

22（本题满分 12 分）

设矩阵  满足：对任意 ，均有

1. 求 ；
2. 求可逆矩阵  与对角矩阵 ，使得

解析：

（1）求矩阵 

由题意直接读出

（2）对角化

先求特征多项式：

故特征值为

分别求特征向量：

• 对 ，可取

• 对 ，可取

• 对 ，可取

令

则