考研笔记-数学之概率论与数理统计:随机变量的数字特征

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（一）基本概念

（1）数字特征：由随机变量的分布所确定，能刻画随机变量某一方面的特征的常数统称为数字特征。

（二）数学期望

数学期望仅对一维随机变量（即单随机变量，该随机变量可以为其他n维随机变量的函数）说话。

（1）定义

设离散型随机变量X的分布律为，，若级数绝对收敛，则称级数的和为随机变量X的数学期望，记为，即。

设连续型随机变量X的概率密度为，若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量X的数学期望，记为，即。

数学期望简称期望，又称均值。随机变量的数学期望完全由随机变量X的概率分布所确定，若X服从某一概率分布，也称为这一分布的数学期望。

（2）意义

数学期望描述随机变量取值的平均大小。

（3）随机变量函数的数学期望

（a）设Y是随机变量X的函数：（g为连续函数），则

（i）若X是离散型随机变量，它的分布律为，，若级数绝对收敛，则有。

（ii）若X是连续型随机变量，它的概率密度为，若积分绝对收敛，则有。

定理（a）的重要意义在于，当我们求时，不必算出Y的分布律或概率密度，只需利用X的分布律或概率密度即可。

（b）设（是连续函数），则Z是一维随机变量，则

（i）若是二维离散型随机变量，其分布律为，，且绝对收敛，则有。

（ii）若是二维连续型随机变量，其概率密度为，且绝对收敛，则有（表示二维随机变量取邻域内的值的概率，故该式符合数学期望的定义）。特别地，可由的概率密度分别求X，Y的数学期望，，

（4）性质

（a）设C是常数，则；

（b）设X是一个随机变量，C是常数，则；

（c）设X，Y是两个随机变量，则；

（d）设X，Y是两个随机变量，且不（线性）相关（包括相互独立），则；

说明：性质（a）、（b）和（c）无条件成立，即线性性质。

（三）方差

方差仅对一维随机变量（该随机变量可以为其他n维随机变量的函数）说话。

（1）定义

设X是一个随机变量，若存在，则称为X的方差，记为或，即。称为标准差或均方差，记为。

（2）本质

方差的本质是一维随机变量X的函数的数学期望。

（3）意义

是刻画X取值分散程度的一个量，描述随机变量与它的数学期望的偏离程度。

（4）计算公式

（a）根据随机变量函数的数学期望公式可得，

若X是离散型随机变量，则，，其中，是X的分布律；

若X是连续型随机变量，则，其中是X的概率密度。

（b）。

（5）随机变量的标准化变量

设X是一个随机变量，则称为X的标准化变量，且有，。

（6）性质

（a）设C是常数，则；

（b）设X是随机变量，C是常数，则，；

（c）设X，Y是两个随机变量，则，即

（d）设X，Y是两个随机变量，且不（线性）相关（包括相互独立），则；

（e）；（助记：，）

（f）的充要条件是X以概率1取常数，即。

说明：性质（a）、（b）和（c）无条件成立，由性质（a）、（b）和（c）可得。

（7）常见分布的数学期望和方差

表-常见分布的数学期望和方差
X	分布	分布律/概率密度	E(X)	D(X)
离散型		，
	，，
	，
连续型
	，
	，
说明	(1) E(X)和D(X)均由对应分布的参数唯一确定； (2) 计算D(X)时，为简化计算，可利用公式代替；

（四）协方差及相关系数

协方差对二维随机变量（两随机变量可以相同，即为同一个随机变量）说话。

（1）定义

量称为随机变量X与Y的协方差，记为，即。称为随机变量X与Y的相关系数。（协方差有量纲，所取单位不同，其数值不同；相关系数无量纲，是协方差的标准化，亦称标准协方差，此处的相关指线性相关。相关系数实际是余弦距离）

（2）本质

协方差的本质是二维随机变量的函数的数学期望。

（3）意义

是一个可以用来表征X，Y之间线性关系紧密程度的量，当时，表示X，Y之间以概率1存在线性关系，当时，表示X和Y不线性相关，但可能存在其他关系，即此时X和Y可能不相互独立。不相关是对线性关系而言，相互独立是对一般关系而言。只有当X与Y都服从正态分布或都服从两点分布时，它们的相互独立和不相关才等价。

（4）协方差的性质

（a）；

（b）（方差是协方差的特例）；

（c）（方差是协方差的特例）；

（d）（方差是协方差的特例）；

（e）；

说明：性质（d）和（e）称为双线性性质，即。

（5）相关系数的性质

（a）；

（b）的充要条件是存在常数a，b，使得；

（6）随机变量不相关的等价命题

（五）矩及协方差矩阵

协方差对一维随机变量（该随机变量可以为其他n维随机变量的函数）或二维随机变量（两随机变量可以相同，即为同一个随机变量）说话。

（1）矩的定义

设X和Y是随机变量。

若，存在，则称为X的k阶原点矩（原点即0），简称k阶矩。

若，存在，则称为X的k阶中心距（中心即）。

若，存在，则称为X和Y的阶混合矩。

若，存在，则称为X和Y的阶混合中心矩。

数学期望是一阶原点矩，方差是二阶中心矩（一阶中心矩），协方差是二阶混合中心矩。

（2）矩的本质

k阶原点矩的本质是一维随机变量X的函数的数学期望。

k阶中心矩的本质是一维随机变量X的函数的数学期望。

k+l阶混合矩的本质是二维随机变量的函数的数学期望。

k+l阶混合中心矩的本质是二维随机变量的函数的数学期望。

（3）矩的性质

若X的k阶原点（或中心）矩存在，则X的k阶及低于k阶的各阶原点矩和中心矩也存在。

（4）协方差矩阵的定义

设n维随机变量的二阶混合中心矩（即协方差），都存在，则称矩阵

为n维随机变量的协方差矩阵（矩阵元素为协方差），由于（，），所以C是对称矩阵，主对角线上的元素（）。

（5）协方差矩阵的意义

一般，n维随机变量的分布是不知道的，或者是太复杂，以致在数学上不易处理，因此在实际应用中协方差矩阵就显得重要了。

（6）协方差矩阵的典型应用

n维正态随机变量的概率密度定义为，其中，，，C为的协方差矩阵。（助记：将一维正态随机变量的概率密度中的变量和参数由一维下的表示改为n维下的表示即得n维正态随机变量的概率密度。）

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