考研笔记-数学之概率论与数理统计:大数定律及中心极限定理

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（一）基本概念

（1）极限定理：极限定理是概率论的基本理论，在理论研究和应用中起着重要作用，其中最重要的是称为“大数定律”和“中心极限定理”的一些定理。

（2）大数定律：大数定律叙述随机变量序列的前一些项的算术平均值（该算数平均值是随机变量）序列在某种条件下收敛到这些项各自均值的算术平均值（该算数平均值是数）。

（3）中心极限定理：中心极限定理确定在什么条件下，大量随机变量之和的分布逼近于正态分布。（中心极限定理的内容包含极限，因而称其为极限定理是很自然的，又由于它在统计中的重要性，称它为中心极限定理）

（4）独立同分布：称随机变量是相互独立的，如果对于任意，是相互独立的，若所有又有相同的分布函数，则称是独立同分布的随机变量序列。

（5）依概率收敛：设是一个随机变量序列，a是一个常数，若对于任意的，有，则称序列依概率收敛于a，记为或。（性质：设，，若函数在点处连续，则）

（二）大数定律

（1）切比雪夫不等式（单随机变量）

设随机变量X的数学期望为E(X)，方差为D(X)，则对于任意的，有，即某值偏离均值的距离越大，随机变量取该值的概率越小。

（2）切比雪夫大数定律（n个独立随机变量的算术平均值）

设是相互独立的随机变量序列，若有常数C使得（），则对任意的，有，即相互独立的随机变量的和的序列依概率收敛于（相互独立的随机变量的算术平均值依概率收敛于它们各自均值的算术平均值）。

（3）辛钦大数定律（算术平均值的稳定性）

设是独立同分布的随机变量序列，且具有数学期望（），作前n个变量的算术平均，则对任意的，有，即（）。

（4）贝努利大数定律（频率的稳定性）

设是n次独立重复试验中事件A发生的次数，p是事件A在每次试验中发生的概率，则对于任意的，有，即（）。

（三）中心极限定理

（1）独立同分布的中心极限定理

设随机变量独立同分布，且具有数学期望和方差（），则当n充分大时，随机变量之和（注意，尽管服从独立同分布。因为表示n个完全相关的随机变量X的和）近似服从正态分布，即（），随机变量之和的标准化变量

近似服从标准正态分布，即

（）。

（2）独立变量的中心极限定理

设随机变量相互独立，且具有数学期望和方差，（），则当n充分大时，随机变量之和近似服从正态分布，即（），随机变量之和的标准化变量

近似服从标准正态分布，即

（）。

（3）林德贝格定理

设独立随机变量序列满足林德贝格条件：若对于任意（主要考虑取的情况），有，（的取值离越近，越大）其中，是的概率密度，，，，则对一切x有（实际上是

，

即“（2）独立变量的中心极限定理”的等价表述）。（林德贝格条件的意义是的取值几乎都集中于附近）

（4）大数定律的各种表达方式之间的关系

特化3：若，且，则（进而由，，可得，）。

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