考研笔记-数学之概率论与数理统计:数理统计的三大抽样分布

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（一）数理统计的三大抽样分布分布、分布和分布

三大分布分布、分布和分布的前提条件：基本随机变量，且相互独立。

1.函数（gamma函数）

（1）定义

，x为任意实数。

（2）性质

（n为正整数，函数是阶乘在实数域的延拓）

，其中，称为beta函数，m，n为正实数（这也是函数定义为，而不是的原因）。

，

2.分布

（1）定义

设是独立同分布的随机变量，，则服从自由度为n的分布，记为。（自由度指独立变量的个数）

（2）分布的概率密度

，

（3）分位点

对于任意给定的正数，，称满足条件的点为分布的分位点。

（4）的性质

（a）若，则，。

（b）若，，且与相互独立，则。

3.分布

（1）定义

设，，且X，Y相互独立，则称随机变量服从自由度为n的分布，记为。（为的方均根）

（2）分布的概率密度

，。

（3）分位点

对于任意给定的正数，，称满足条件的点为分布的分位点。

（4）分布的性质

（a）当n无限大，分布的极限分布就是标准正态分布。

（b）。（分布的概率密度函数为偶函数）

4.分布

（1）定义

设，，且U，V相互独立，则称随机变量服从自由度为的分布，记为。

（2）分布的概率密度

（3）分位点

对于任意给定的正数，，称满足条件的点为分布的分位点。

（4）性质

（a）若，则。

（b）

（二）正态总体的样本均值与样本方差的分布

（1）单个正态总体的样本均值与样本方差的分布

设是来自正态总体的样本，是样本均值，是样本方差，则有

①与相互独立；（正态总体的和才具有该性质）

②，即；

③，即（注意与的区别）；

④（由②和③可推得）。

（2）两个正态总体的样本均值与样本方差的分布

设和分别是来自正态总体与的样本，且这两个样本相互独立，与分别是两个样本的样本均值，与分别是两个样本的样本方差，则有

①；

②当时，，其中，，。

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