考研笔记-数学之概率论与数理统计:参数估计(区间估计)

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（三）估计量的评选标准

1．引入原因

对于同一参数，用不同的估计方法求出的估计量可能不同。

2．无偏性

（1）定义

设是总体X的一个样本，（是的取值范围）是包含在总体X的分布中的待估参数，若参数的估计量的数学期望存在，且对于任意有，则称是的无偏估计量。

（2）意义

在科学技术中，称为以作为的估计的系统误差。无偏估计的实际意义就是无系统误差。

（3）说明

一个未知参数可以有不同的无偏估计量。

3．有效性

设是总体X的一个样本，（是的取值范围）是包含在总体X的分布中的待估参数，与都是的无偏估计量，若对于任意，有，且至少对于某一个上式中的不等号成立，则称较有效。如果对于固定的n，达到最小值，则称为的有效估计量。

4．相合性（一致性）

设是总体X的一个样本，（是的取值范围）是包含在总体X的分布中的待估参数，为参数的估计量，若对于任意，当时依概率收敛于，即对于任意的，有，则称为的相合估计量（一致估计量）。

5．样本k阶原点矩与样本方差是总体k阶原点矩与总体方差的无偏、一致估计。

（四）区间估计

1.定义

设总体X的分布函数含有一个未知参数，（是可能取值的范围），对于给定值（），若由来自X的样本确定的两个统计量和（），对于任意满足，则称随机区间是的置信水平为的置信区间，和分别称为置信水平为的双侧置信区间的置信下限和置信上限，称为置信水平（置信度）。置信区间的长度确定精确程度，置信区间的概率确定可信程度。

说明：

（a）当X是连续型随机变量时，对于给定的，总可以按要求求出置信区间，而当X是离散型随机变量时，对于给定的，常常找不到区间使得恰为，此时可以去找区间使得至少为，且尽可能接近。

（b）置信区间是一个随机区间，的正确含义是随机区间包含（即是动态的，是静态的）的概率为。

2.构造未知参数的置信区间的方法：

（1）寻求一个样本和未知参数的函数，使的W的分布已知且不依赖于以及其他未知参数，称W为枢轴量（枢轴量是随机变量，但不是统计量。称为枢轴量是因为由该随机变量可转化出未知参数的（随机）取值区间）。

（2）对于给定的置信水平，确定两个常数a，b使得。

（3）将转化为等价形式，则有，那么就是的一个置信水平为的置信区间。

总结为：

（1）确定随机变量：确定分布已知的随机变量（含有样本和待估计的参数）；

（2）构造大概率事件：根据随机变量的分布和置信度，确定分位数以构造大概率事件；

（3）进行等价变形：对大概率事件进行等价变形得到待估计参数的不等式；

（4）代入样本值：将样本值代入(3)中的不等式得到待估计参数的置信区间。

（五）单侧置信区间

1.定义

对于给定值（），若由样本确定的统计量，对于任意满足，称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间，称为的置信水平为的单侧置信下限。

若统计量对于任意满足，称随机区间是的置信水平为的单侧置信区间，称为的置信水平为的单侧置信上限。

（六）正态总体均值、方差的置信区间与单侧置信限（置信水平为）

说明：

(1)上述5个区间估计构造置信区间时所选择的随机变量（枢轴量）分别对应正态总体的样本均值与样本方差的分布中的5种分布；

(2)枢轴量与待估参数均成反比。

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