考研笔记-数学之概率论与数理统计:假设检验

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（一）基本概念

1.假设检验：在总体的分布函数完全未知（对应分布检验）或只知道其形式、但不知道其参数（对应参数检验）的情况下，为了推断总体的某些未知特性，提出某些关于总体的假设，再根据样本对所提出的假设作出是接受，还是拒绝的决策，作出这一决策的过程即为假设检验。（对总体假设，用样本检验）

2.小概率原理：根据所研究的具体问题，规定一个界限（），把概率不超过的事件认为是不可能事件，认为这样的事件在一次试验中是不会出现的，这就是所谓的小概率原理。其中称为显著性水平（即小概率事件的概率）。

3.假设检验的基本思想：以小概率原理作为拒绝原假设的依据（反证）。先提出假设，在假设下构造小概率事件A（依据理论，该假设下的构造没有问题），通过样本（一次试验）判断小概率事件是否发生，若发生，说明A不是小概率事件，只可能是假设错误。

4.显著性水平下，检验假设，，也常说成“在显著性水平下，针对检验”，称为原假设或零假设，称为备择假设（意指在原假设被拒绝后可供选择的假设，原假设与备择假设互斥）。我们要进行的工作是，根据样本，按照检验方法做出决策在与两者之间接受其一。当检验统计量取某个区域C中的值时，我们拒绝原假设，则称区域C为拒绝域（小概率事件的集合），拒绝域的边界点称为临界点。

5.假设检验的两类错误：

（1）第一类错误：在假设实际为真时，我们可能犯拒绝的错误，称这类“弃真”的错误为第一类错误。

（2）第二类错误：在假设实际为假时，我们可能犯接受的错误，称这类“取伪”的错误为第二类错误。

6.显著性检验：对涉及到的问题只提出一个统计假设，而且我们的目的也仅仅是判断这个统计假设是否成立，并不同时研究其他统计假设，这类假设检验称为显著性检验。（只对犯第一类错误的概率（即拒绝原假设的概率）加以控制，而不考虑犯第二类错误的概率的检验，称为显著性检验）

7.最优检验：在犯第一种错误的概率不大于a的多种检验法则中寻求犯第二种错误的概率最小的检验。

8.形如，中的备择假设的假设，表示可能大于，也可能小于，称为双边备择假设，这类假设检验为双边假设检验。形如，的假设检验称为左边检验（称之为左边检验是因为该假设检验的接受域为），形如，的假设检验称为右边检验（称之为右边检验是因为该假设检验的接受域为），左边检验和右边检验统称为单边检验。

9.处理参数的假设检验问题的步骤：

（1）根据实际问题的要求，提出原假设及备择假设；

（2）给定显著性水平以及样本容量n；

（3）确定检验统计量以及拒绝域的形式；

（4）取样，根据样本观察值作出决策，是接受还是拒绝。

总结为：

（1）确定随机变量：先确定分布已知的随机变量（含有样本和待检验的参数）；

（2）构造小概率事件：根据随机变量的分布和显著性水平，计算出分位数以构造小概率事件（应确保使用参考值代替检验值（即待检验的参数）后得到的事件在原假设的条件下是原事件的子集即更小概率事件）；

（3）代入参数参考值：用原假设中指定的待检验参数的参考值代替(1)中随机变量的待检验参数，得到检验统计量，同时得到更小概率事件；

（4）代入样本值检验：将样本值代入小概率事件不等式判断是否满足。

（二）正态总体均值、方差的检验法（显著性水平为）

（三）置信区间与假设检验的关系

（1）置信水平为的置信区间与显著性水平为的假设检验问题：，

（a）当我们要检验假设，时，先求出的置信水平为的置信区间，然后考察区间是否包含，若则接受，反之，则拒绝。

（b）为要求出参数的置信水平为的置信区间，我们先求显著性水平为的假设检验问题：，的接受域，则就是的置信水平为的置信区间。

（2）置信水平为的置信区间与显著性水平为的假设检验问题：，

（a）置信水平为的单侧置信区间与显著性水平为的左边检验问题，有类似的对应关系。即若已求得单侧置信区间，则当时接受，反之，则拒绝。

（b）反之，若已求得检验问题，的接受域为，则可得的一个单侧置信区间。

（3）置信水平为的置信区间与显著性水平为的假设检验问题：，

（a）置信水平为的单侧置信区间与显著性水平为的右边检验问题，有类似的对应关系。即若已求得单侧置信区间，则当时接受，反之，则拒绝。

（b）反之，若已求得检验问题，的接受域为，则可得的一个单侧置信区间。

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