第一期讲了选择、多选里的几道题。这一期来讲讲填空题 14，以及解答题 16、17、18。
第 14 题（5分）
原题
设实数 满足：存在数列 ，使得对于任意 ，均有 ，且 中有某连续9项 是公比为 的等比数列。求 的最大值。
思路解析
这道题看起来变量很多（数列本身不确定，只给了一个每 3 项一组的前缀和条件），但只要抓住一个关键动作——把数列按每 3 项分组，看每组的和，问题就会清晰很多。
设 。把第 组（即 ）的和记为 ，不管数列 具体长什么样，每一组三个数的和都必须是 （ 是组号）。这是整道题唯一确定的"硬约束"，剩下每组内部三个数具体怎么分，是完全自由的。
接下来要看：起点 落在哪个位置，会决定这连续 9 项跟"每 3 个一组"的分组方式是怎么错位的。按 除以 3 的余数分类讨论，正好对应三种错位方式：
- 若 除以 3 余 1（即 ）：这 9 项恰好对齐 3 个完整的组；
- 若 除以 3 余 2（即 ）：这 9 项包含两个完整组（第 组），两端各带零头；
- 若 能被 3 整除（即 ）：这9项同样包含两个完整组（第 组），只是零头分布位置不同。
这三种情形里，第一种（9 项恰好对齐 3 个整组）看起来是最"整齐"的一种，但真正代入两组之间的比值关系去算，会发现推出一个自相矛盾的等式——这说明"看起来整齐"不代表"真的可行"。后两种情形（错位 1 格、错位 2 格）才是真正走得通的路径，算出来的 都是一个随 增大而减小的表达式，所以要让 最大，就要让 取到能取的最小值。
另外要注意，前面推出的 只是一个"必要条件"——也就是说，如果存在满足条件的数列， 一定不超过 ；但反过来， 这个值是否真的能被某个实际存在的数列达到，还需要单独构造一个例子来验证。这一步不是可有可无的补充，而是这类求最大值问题里必不可少的一环。
解题过程
解： 设 ，由 得， 当 时：
当 时， 亦满足上式。故对任意 ，均有 。
设这连续的9项为 ，记 。由于方程 的判别式 ，故对任意实数 ，恒有 （即 ）。
按起点 除以3的余数分三种情形讨论：
① （其中 ）：这9项恰好是第 三个完整的组，由题意得：
两式相除得 且 ，从而 。 展开得 ，即 ，此方程无解，故此情形不存在。
② （其中 ）：这9项中的两个完整组是第 组（对应项为 与 ），由题意得：
两式相除得 。 因为 ，所以当 时， 取得最大值 。
③ （其中 ）：这9项中的两个完整组是第 组（对应项为 与 ），由题意得：
两式相除得 。 因为 即 ，所以当 时， 取得最大值 。
综上所述，，所以 。
下证等号可以取到：取 ，此时 （对应情形②），。 令 ，此时这9项对应 至 ，且满足 。 对于数列 的其余项，我们只需令：
由此构造出的数列 完全符合题意。 故 的最大值为 。
第 16 题（15分）
原题
在 中，。
（1）求 ；
（2）设 两点满足： 在 的延长线上，，。若 ，求 。
思路解析
第 (1) 问是标准的余弦定理应用：先用 求出第三边 ，再反过来用余弦定理求 。
第 (2) 问如果用传统几何法找相似三角形，图形极易看错。利用解析几何的建系思想最稳妥：以 为原点， 为 轴建系，这样 这个几何条件直接转化成"点 的横坐标为 0"。
建系之后需要处理两件事：一是用 把点 的坐标精确写出来；二是用向量平移的方式表示 两点。这里设 时， 的正负号不能仅凭" 在延长线上"这一条件单独判断，必须连同后面" 在 延长线上"对应的坐标约束（）一起才能确定。更稳妥的做法是先把两种符号都列出来，代入后看哪一种能让 成立，用矛盾把不合法的一支排除掉。
解题过程
（1）解：在 中，由余弦定理得：
因为 ，所以 ，由此得 。 再由余弦定理得：
（2）解：在平面 内，以 为原点， 所在直线为 轴，过点 且在平面内垂直于 的直线为 轴，建立平面直角坐标系。 由(1)知 。因为 为三角形内角且 ，所以 。 则点 的坐标为 。 从而得到向量 。 因为 ，所以可设 （）。 由 ，得：
因为 在 的延长线上，可设 。 已知 ，则点 的坐标为 。 由 ，可得点 的坐标为 。 因为 ，且 在 轴上，所以点 的横坐标为0，即：
下面对 的两种可能取值分别代入检验：
将 代入点 的纵坐标：
因此点 的坐标为 。 由两点间距离公式：
第 17 题（15分）
设整数 , 某同学用一个球进行投篮练习, 至多投篮 次, 当且仅当投中 1 次时或 次均未投中时, 停止练习。设该同学每次投中的概率为 , 各次投中与否相互独立, 记 为停止练习时该同学的投篮次数。
(1) 当 时, 求 的分布列；
(2) 设 均为自然数。
(i) 当 时, 求 ；
(ii) 当 时, 证明: 。
思路解析
理解停止规则是这道题的第一道关卡：投中 1 次或 N 次均未投中，只要满足其中一个就停止。
第（1）问求分布列，注意最后一项 。当前 3 次都没投中时，第 4 次不管投中（满足投中 1 次）还是没投中（满足 4 次均未中），都会在第 4 次停止，所以 的概率实质上就是前 3 次都没投中的概率。
第（2）问的（i）问要特别注意一点：""等价于"前 次都没中"这件事，只有在 时才成立。原因是——如果 ，根据停止规则，投篮最多只投 次， 根本不可能大于 ，这时候""这个事件本身概率就是0，跟"前 次都没中"不是一回事。所以题目专门限定 ，就是为了保证投篮次数超过 和前 次全部未中这两件事是完全等价的。
解题过程
（1）解：随机变量 的所有可能取值为 。 依据独立重复试验及停止规则：
故 的分布列为：
（2）（i）解：当 且 时，投篮练习在第 次之后才停止，等价于事件前 次投篮练习中均未投中。
由于每次投篮相互独立，且每次投不中的概率为 ，由独立事件的乘法原理可得：
（ii）证明：因为 为自然数，所以 ，由此可得事件间的包含关系：。 根据条件概率公式：
因为 ，所以必有 且 均成立。 由（i）中所得结论代入上式可得：
又由（i）知，当 时，， 所以 成立。
第 18 题 (17分）
原题
已知椭圆 的左焦点为 ，离心率为 。
（1）求 的方程；
（2）设 为坐标原点，过 且斜率大于0的动直线 与 交于 两点，其中 在第三象限，直线 与 的另一个交点为 。
（i）若 的面积是 面积的3倍，求 的方程；
（ii）求 的最小值。
思路解析
第 (1) 问常规待定系数法。
第 (2) 问的 (i) 问，核心突破口在于利用中心对称性得出 。想清楚这一点之后，"面积比"就可以转化成"线段比"：因为 三点共线，同一直线上任意两点间的距离和它们的横坐标差是成正比的。而在大题书写中，为了规避去绝对值时的分类讨论，使用向量共线 转化为没有绝对值的代数式是最严密、最不容易被扣分的写法。
(ii) 问求 的最小值，可以把这个角看成直线 与直线 的夹角，代入两直线夹角公式。最后用基本不等式求出最小值。
解题过程
（1）解：由左焦点 知 。 由离心率 ，得 。 则 。 故椭圆 的方程为 。
（2）（i）解：设动直线 的方程为 。设 。 联立直线 与椭圆 的方程：
因为 ，所以判别式 恒成立。由韦达定理得：
因为直线 与椭圆交于另一点 ，且椭圆关于原点对称，所以 ，即 为线段 的中点。 根据三角形面积公式， 与 的底分别在直线 和 上。 因为 是 的中点，且 共线，由点到直线的距离关系可知，点 到直线 的距离是点 到直线 的距离的 2 倍（即 ）。 因此：
由题意，该面积比值为 3，即 。 因为 在线段 内，所以 ，从而得 。
所以 。 又 ，则 ，。 根据向量共线的坐标关系可得：
联立韦达定理中的两根之和：
将 代入韦达定理中的两根之积式中：
展开右边并化简得：。 因为 ，所以 。 故直线 的方程为 ，即 。
（ii）解：直线 的斜率为 。 由（i）知 ，且 。故直线 的斜率为：
因为 在直线 上，所以 。 代入斜率公式中：
将韦达定理中的 代入上式：
因此，由两直线夹角公式可得：
...图形的几何关系可以通过直角三角形来加深理解：
因为 ，由基本不等式可得：
当且仅当 即 时，等号成立。 故 的最小值为 。
