第一场试卷权威解析:第五届奥林匹克数学竞赛(秋)到底难在哪
- 2026-09-16 15:03:09
第一场考试落下帷幕。走出考场，有同学觉得"题型都见过"，也有同学感叹"最后一题无从下手"。差距从何而来？我们以两套试卷的考试原题为样本，做一次完整复盘：考了什么、怎么考的、下一步怎么准备。
一、报名入口：第二场报名已开启
练习题库已发布，复习时间充足
二、命题特点：三个关键词
主干知识全覆盖——极限与连续、导数与微分、一元积分、无穷级数构成主干；线性代数以矩阵的秩、行列式、特征值、含参线性方程组等形式稳定占比。
概念与计算并重——间断点分类、变限积分求导等题考的不是"算得快"，而是对定义本身的理解。
知识交叉融合——如将极限与变限积分结合的填空题、用幂级数和函数求数项级数值的计算题，一道题串起两章内容。
三、两组试卷，三种差异（附样题）
差异 1：知识深度不同
【数学专业组 · 选择第8题】
设 A 为 3 阶矩阵，λ=2 是 A 的特征值，且 r(A−2E)=2，则 A 的 Jordan 标准形中属于 λ=2 的 Jordan 块的个数为（ ）A. 0 B. 1 C. 2 D. 3
【非数学专业组 · 选择第8题】
设 A、B 均为 n 阶方阵，则下列命题中错误的是（ ）A. 若 A 可逆，则 r(AB)=r(B)B. 若 r(AB)=r(B)，则 A 可逆C. r(AB)≤min{r(A), r(B)}D. r(A+B)≤r(A)+r(B)
点评：同样考"矩阵的秩"，数专卷下探到 Jordan 标准形的结构理论，非数专卷停留在秩的运算性质——这正是"概念挖掘深度"的差别。
差异 2：计算取向不同
【数学专业组 · 计算第19题】
求幂级数 Σ n·xⁿ 的和函数 S(x)，并求 Σ n/2ⁿ 的值。
【非数学专业组 · 计算第19题】
用 108 m² 钢板制造一个无盖长方体蓄水池（底面边长分别为 x、y，高为 z），问 x、y、z 各取何值时蓄水池容积最大？并求出最大容积。
点评：数专卷考"从幂级数到数项级数"的抽象推导链；非数专卷把最值问题放进真实工程场景。非数专卷计算占比更高，但均属常规训练题型。
差异 3：证明题的抽象程度不同
【数学专业组 · 证明第21题】
设 f(x) 在 [0,1] 上连续，在 (0,1) 内可导，且 f(0)=0，f(1)=1。（1）证明：存在 ξ∈(0,1)，使得 f(ξ)=1−ξ；（2）证明：存在两个不同的 η₁、η₂∈(0,1)，使得 f′(η₁)·f′(η₂)=1。
【非数学专业组 · 证明第21题（节选）】
（1）证明：当 x>0 时，x/(1+x) < ln(1+x) < x。
点评：数专卷需构造辅助函数并处理"双中值点"；非数专卷条件直观，从函数单调性切入即可。证明题是两套卷区分度最大的板块。
四、给下一场考生的复习清单
高等数学（约70分，重中之重）
1. 极限与连续：重要极限、间断点分类（必考基本功）；
2. 变限积分求导、定积分的分部计算；
3. 级数：正项级数判别、幂级数收敛域与和函数；
4. 多元：复合函数偏导、二重积分（极坐标与交换次序）；
5. 非数学专业组加练：二阶常系数微分方程、最值应用题。
线性代数（约30分，稳拿基础分）
1. 秩、伴随矩阵、行列式、特征值"四件套"；
2. 含参线性方程组解的讨论——两套卷均以此出大题。
证明专项（区分度所在）
拿到证明题，第一反应是构造辅助函数；
"存在两个中值点"的模型与不等式证明链，值得专项训练。
赛制介绍
证书样图无盖章，正式发放版有盖章
转发本篇推文及指定文案至朋友圈或 QQ 空间，不设分组、满 2 小时，截图反馈至竞赛老师（QQ 3946789815）处，即可领取上届样卷 PDF 版。
截止时间：2026年9月17日18点
文案：【试卷权威分析】第五届全国大学生奥林匹克数学竞赛秋季赛第二场报名进心中
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