2026全国大学生数学竞赛预赛模拟试题 2套
- 2026-09-25 10:11:36
2026全国大学生数学竞赛预赛模拟试题 2套
2026全国大学生数学竞赛预赛模拟试题
模拟题第10套（非数学类/数学类）
题1 求极限
解：变量替换 ，，当 ，
对任意固定 ，； 时，被积函数。 用控制收敛定理，积分极限等于极限积分：
答案：
题2 若数列满足 $0
解：
由 Stolz 定理：。
令 ，
再次 Stolz：
答案：
题3 设在上连续，且，证明：对于任意的正整数，必存在，使得
证明：构造函数：
所有项相加等于0，分两种情况：
存在某个使得，取，命题成立； 所有不全为0，则必有一项，一项。 由连续函数介值定理，介于两点之间，使得，即
证毕。
题4 设，试讨论函数
在处的连续性与可导性以及在处的连续性。
解：
连续性
， 在 连续。
可导性导数定义：
：不存在，在0不可导 ：，有界乘无穷小，极限为0，**，在0可导**
导函数在0点连续性当 ：
讨论 ：
：不存在，不用讨论； ：，时振荡，极限不存在。**在0不连续**； ：，。**在0连续**
总结
：在0连续，不可导； ：在0连续、可导；导函数在0不连续； ：在0连续、可导；导函数在0连续。
题5 求积分
解：拆成两个积分
对做换元：令 ；
对换元：令 ；
答案：
题6 求二重积分 ，其中 是由直线 和曲线 所围成的区域。
解：曲线 ，整理：，是左半圆，圆心半径1。 区域：，：
第一部分：第二部分：令
答案：
题7 设，对，若，试证：
证明：Hardy不等式这就是经典Hardy不等式。 记 ，。
左边分部求和：
利用 ，以及赫尔德不等式：
代入化简得到
证毕。
题8 求含参积分
解：不妨设 ，对参数求导。
令
不妨设 ，记
再对求导，计算积分最后回代，结果：
答案：
题9 判断反常积分
的敛散性。解：令
分情况：
：，指数衰减，对任意实数，积分收敛； ：积分变为 ， ：收敛； ：发散； ：，被积函数趋于无穷，对任意发散。
总结：
，：收敛； ：收敛； 或 ：发散。
题10 求微分方程 的通解。
解：欧拉方程，令 ，记
原方程：
特征方程：，齐次通解：
求特解，拆右端两项：
：不是特征根，设，代入：
：二重特征根，设
比较系数：
通解：
答案：
第十八届全国大学生数学竞赛预赛模拟试题
模拟题第14套（非数学类/数学类，2026）
1求极限
解放缩：
左右两边极限都是 ，由夹逼准则：
2 设函数 在 上连续，在 内可导，。证明：
(1) ，使得 ； (2) 存在两个不同点 ，使得 。
证明(1) 令 。， 在 连续，由零点定理，。
(2) 在 对 用拉格朗日：
在 对 用拉格朗日：
相乘：。证毕。
3 求不定积分
解
4 求曲线 ，直线 围成平面图形绕 轴旋转一周旋转体体积。
解圆盘法：
5 计算二重积分
解
6 求幂级数 的收敛域与和函数。
解收敛半径：。 端点 ：通项不趋于0，发散。收敛域：。
设 ，逐项积分：
两边求导：
7 已知矩阵
求 的特征值与特征向量。解特征方程：
特征值 。
：，基础解系 。 对应全部特征向量：。
：，基础解系 。 对应全部特征向量：。
8 设向量组 线性无关，证明：向量组
线性无关。
证明设 。
线性无关，故：
系数行列式不为0，只有零解 。所以 线性无关。证毕。
9 设随机变量 ，求 的概率密度函数。
解 标准正态，。
分布函数：
当 ：
对 求导：
这就是自由度为1的卡方分布。
10 求微分方程 的通解。
解特征方程：，根 。 通解：
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