中考数学复习第四讲:方程与不等式(二)
- 2026-09-26 02:12:49
中考数学复习第四讲:方程与不等式(二)中考一轮复习第四讲：一元二次方程全梳理。解法、判别式、根与系数关系、实际应用题，重点题型一次讲清。 第四讲：方程与不等式（二） 
一、一元二次方程基础 1. 定义 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程。 2. 一般形式 ax² + bx + c = 0，其中 a≠0。 注意： 二次项系数 a 不能为0； b、c 可以为0。 二、一元二次方程的解法 （一）直接开平方法 适用：方程能化成 x² = p 或 (x+n)² = p 的形式。 - 如果 x² = p，p＞0，那么 x = ±√p。 - 如果 x² = p，p=0，那么 x₁=x₂=0。 - 如果 x² = p，p＜0，方程没有实数根。 例题： (x-3)² = 16 x-3 = ±4 x₁=7，x₂=-1 （二）配方法 步骤： ① 把常数项移到方程右边。 ② 二次项系数化为1。 ③ 方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 ④ 左边写成完全平方形式。 ⑤ 开平方求解。 公式： x² + px + (p/2)² = (x + p/2)² 例题： x² + 6x + 5 = 0 x² + 6x = -5 x² + 6x + 9 = 4 (x+3)² = 4 x+3 = ±2 x₁=-1，x₂=-5 （三）公式法 1. 求根公式 对于 ax² + bx + c = 0，a≠0， x = [-b ± √(b²-4ac)]/(2a)，其中 b²-4ac≥0。 2. 使用步骤 ① 化成一般形式。 ② 确定 a、b、c 的值。 ③ 计算判别式 Δ = b²-4ac。 ④ 根据判别式判断根的情况。 ⑤ 代入公式求解。 例题： 2x² - 3x - 2 = 0 a=2，b=-3，c=-2 Δ = (-3)² - 4×2×(-2) = 25 x = [3±5]/4 x₁=2，x₂=-1/2 （四）因式分解法 适用：方程左边能分解成两个一次因式的乘积。 步骤： ① 移项，使方程右边为0。 ② 分解左边因式。 ③ 化成两个一次方程。 ④ 分别求解。 例题： x² - 5x + 6 = 0 (x-2)(x-3)=0 x-2=0 或 x-3=0 x₁=2，x₂=3 三、根的判别式 1. 判别式公式 Δ = b² - 4ac 2. 根的情况判断 - Δ＞0：有两个不相等的实数根 - Δ=0：有两个相等的实数根 - Δ＜0：没有实数根 3. 逆用也成立 如果方程有两个不相等实数根， 那么 Δ＞0。 如果方程有两个相等实数根， 那么 Δ=0。 如果方程没有实数根， 那么 Δ＜0。 四、根与系数的关系 1. 关系公式 如果一元二次方程 ax² + bx + c = 0 的两个实数根是 x₁、x₂，那么 x₁ + x₂ = -b/a x₁ · x₂ = c/a 2. 常用变形 x₁² + x₂² = (x₁+x₂)² - 2x₁x₂ 1/x₁ + 1/x₂ = (x₁+x₂)/(x₁x₂) |x₁ - x₂| = √[(x₁+x₂)² - 4x₁x₂] 注意： 使用根与系数关系前，要先判断方程是否有实数根。 五、实际应用题 （一）增长率问题 基本公式： a(1+x)ⁿ = b a：初始量 x：增长率 n：增长次数 b：最终量 例题： 某厂一月份产值为10万元，三月份产值为12.1万元，求月平均增长率。 解： 设月平均增长率为 x。 10(1+x)² = 12.1 (1+x)² = 1.21 1+x = ±1.1 x₁=0.1，x₂=-2.1 因为增长率不能为负，所以舍去 x₂。 答：月平均增长率为10%。 （二）面积问题 常见思路： ① 设未知数。 ② 用未知数表示图形的长和宽。 ③ 根据面积关系列方程。 ④ 解方程后检验结果是否符合实际。 例题： 用一根长40cm的铁丝围成一个矩形，面积为96cm²，求矩形的长和宽。 解： 设矩形的一边长为 x cm，则另一边长为 (20-x)cm。 x(20-x)=96 20x - x² = 96 x² - 20x + 96 = 0 (x-8)(x-12)=0 x₁=8，x₂=12 当 x=8 时，20-x=12； 当 x=12 时，20-x=8。 答：矩形的长为12cm，宽为8cm。 （三）利润问题 基本关系： 每件利润 = 售价 - 进价 总利润 = 每件利润 × 销售数量 例题： 某商品进价为30元，当售价为40元时，每天可销售200件。经调查发现，售价每上涨1元，日销量减少10件。若每天要获利2250元，售价应定为多少元？ 解： 设售价上涨 x 元。 每件利润：(40+x-30)元 日销量：(200-10x)件 根据题意： (10+x)(200-10x)=2250 2000 - 100x + 200x - 10x² = 2250 -10x² + 100x + 2000 = 2250 10x² - 100x + 250 = 0 x² - 10x + 25 = 0 (x-5)² = 0 x₁=x₂=5 售价为：40+5=45元。 答：售价应定为45元。 六、高频易错提醒 1. 二次项系数 a≠0，这是一元二次方程的前提。 2. 用公式法时，先把方程化成一般形式。 3. 开平方时不要漏掉正负号。 4. 配方法要在方程两边同时加一次项系数一半的平方。 5. 应用题解完一定要检验根是否符合实际意义。 6. 根与系数关系使用前，先确认方程有实数根。 #杭州中考 #中考一轮复习#一元二次方程#初中数学#九年级数学#中考数学笔记#根的判别式#杭城数学笔记
本文来自网友投稿或网络内容，如有侵犯您的权益请联系我们删除，联系邮箱：wyl860211@qq.com 。
