《导数与函数的极值、最值》一轮复习备课稿
- 2026-09-28 17:13:10
《导数与函数的极值、最值》一轮复习备课稿
课题：导数与函数的极值、最值
课型：高三数学一轮复习
建议课时：2课时
核心主线：导数符号 → 单调性 → 极值 → 最值，并向参数范围、不等式恒成立、函数零点及实际应用迁移。
一、课标解读【2025修订版】
1. 本节对应的课程内容
本节属于"导数及其应用"的核心内容，主要涉及：
理解导数与函数单调性的关系； 能利用导数研究函数的单调性； 理解函数极值的概念； 能利用导数判定函数的极值； 能求函数在闭区间上的最大值和最小值； 能利用导数解决不等式、参数范围、函数零点和实际优化问题； 体会函数与方程、数形结合、分类讨论、转化与化归等数学思想。
2. 与旧版要求相比的教学导向变化
本节内容的变化，重点不在于简单增加知识点，而在于从"程序性解题"转向"基于函数观念的研究"。
3. 内容要求层级
了解：
导数可以反映函数在某点附近的变化趋势； 极值是局部概念，最值是整体概念； 端点可以取得最大值或最小值； 二阶导数可以辅助判定极值。
理解：
导数符号与函数单调性的关系； 导数变号与函数极值的关系； 为什么 不是极值的充分条件； 为什么求闭区间最值必须比较端点和内部临界点。
掌握：
利用导数判断函数单调区间； 利用导数判定函数极值； 求函数在闭区间上的最大值和最小值； 利用最值处理恒成立不等式； 利用极值和最值判断函数零点个数； 处理常见含参数函数的极值、单调性与最值问题。
4. 本节教学导向
课堂应由以下机械流程：
★求导数 — 令导数为零 — 代入求值
升级为完整的函数研究流程：
★确定定义域 → 求导 → 找临界点 → 判断导数符号 → 研究单调性 → 判断极值 → 比较最值
教学中要突出四个关键词：
★定义域是前提，导数符号是核心，极值判定是关键，端点比较是保障。
二、考情分析
1. 2022—2026年总体考查情况
导数与函数的极值、最值是高考中的稳定热点，既可能以选择题、填空题形式考查，也可能作为解答题的首问或核心设问出现。
2. 近五年命题角度归纳
角度一：根据导数符号判断单调性
常见形式：
给出 ，求 的单调区间； 给出 的图象，判断 的变化趋势； 已知函数在某区间上单调，求参数范围。
角度二：判断极值点
常见陷阱：
把 直接当作极值； 忽略导数是否变号； 混淆极大值点与极大值； 将端点最值误认为极值。
角度三：求闭区间最值
标准流程为：
求导； 求区间内部临界点； 计算端点值； 比较所有候选函数值。
角度四：参数与极值个数
核心是研究 的根的个数、位置及导数符号变化。
角度五：导数与不等式恒成立
常见转化：
角度六：极值与零点个数
常见本质是研究函数图象与水平线或 轴的交点个数。
3. 命题风格规律
近年来命题呈现以下趋势：
减少繁琐计算，突出结构分析； 重视定义域、端点和参数边界； 导数与零点、不等式、函数图象综合考查； 由单一结论考查转向完整研究过程； 强调必要条件、充分条件和结论适用范围； 情境化命题增加，但数学本质仍是函数最值。
4. 2027年命题预测
预测一：基础题考查概念边界
可能考查： 是否一定为极值点；极值点与最值点的区别；端点能否取得最值；导数不变号时是否有极值。
预测二：中档题考查闭区间最值
可能给出含参数函数，要求：求最值；求参数范围；讨论最值点位置。
预测三：综合题考查最值与恒成立
通过 或 考查函数最值与参数范围的转化。
预测四：函数零点与极值综合
可能通过研究 的实根个数，考查函数极值、图象和水平线交点。
预测五：实际情境中的优化问题
以面积、体积、成本、利润、距离等为背景，考查建模、定义域、求导和结果解释。
三、知识梳理归纳总结
1. 导数与函数单调性
设函数 在区间 上可导。
若 ，则 在 上单调递增； 若 ，则 在 上单调递减； 若 ，且不在某个子区间上恒为 0，则函数在 上单调递增； 若 ，且不在某个子区间上恒为 0，则函数在 上单调递减。
注意：判断单调性前，必须先确定函数定义域或题目给定的研究区间。
2. 极值的概念
若在 附近 ，则称 为极大值；
若 ，则称 为极小值。
极值具有局部性，最值具有整体性。
3. 极值的导数判定
若 在 左右发生如下变化：
：则 是极大值点； ：则 是极小值点； 若导数不变号，则 不是极值点。
4. 极值点的必要条件
若函数在 处可导且取得极值，则 。
但是 不能推出 一定是极值点。
例如：，，但 不是极值点。
5. 临界点
研究函数的极值和最值，应重点关注：
定义域内部使 的点； 定义域内部导数不存在但函数有定义的点； 闭区间的两个端点。
6. 闭区间最值
若函数 在闭区间 上连续，则一定能取得最大值和最小值。
求法：比较 、 以及所有内部临界点处的函数值。
注意：极值不一定是最值，求出极值后仍需检查端点。
7. 常考二级结论
结论一：单调函数的最值
若函数在 上递增，则 ，。
若函数在 上递减，则 ，。
适用前提：函数在整个闭区间上单调。
结论二：恒成立与最值
（） （）
适用前提：必须明确研究区间和函数的最值是否存在。
结论三：导函数图象与原函数极值
若已知 图象：图象在 轴上方， 递增；图象在 轴下方， 递减； 由正变负， 有极大值； 由负变正， 有极小值。
结论四：参数影响极值点个数
参数问题不能只看 的根的个数，还要看导数是否变号。
结论五：函数零点个数
方程 的根的个数，等价于函数图象 与直线 的交点个数。
8. 高频易错点
把 当作极值结论； 求闭区间最值时漏掉端点； 忽略定义域； 将极值点和极值混淆； 将区间外临界点纳入比较； 参数重根时误判为极值； 恒成立不等式方向写反； 只会求导，不会根据导数符号组织结论。
四、深挖课本，固本培元
1. 人教版教材的内容特点
人教版教材通常按照以下逻辑组织：
★导数 → 导数与单调性 → 极值 → 最值 → 实际应用
其优势在于：概念体系完整；结论表述规范；例题程序清晰；适合学生建立解题模板；注重导数符号、函数图象与单调性的联系。
2. 湘教版教材的内容特点
湘教版教材在相关内容中通常更加重视：函数变化的实际背景；函数图象与数量关系；导数在优化问题中的作用；从问题情境中抽象函数模型；对结论进行直观解释。
3. 两版教材的互补使用
4. 教材本源例题的再开发
再开发一：将"求极值"改为"判断极值点个数"
通过改变提问方式，促使学生关注导函数零点和变号，而不是只关注函数值计算。
再开发二：将"求最值"改为"求恒成立参数"
例如把"求 在 上的最小值"改为：（），求 的取值范围。
再开发三：改变研究区间
同一个函数在不同区间上的最值可能不同，借此突出"最值具有研究范围"。
再开发四：给出导函数图象
让学生从 的图象直接判断 的单调性和极值，强化数形结合。
5. 教材隐藏考点
闭区间最值存在需要函数在闭区间上连续； 端点可以取得最大值或最小值； 端点通常不作为内部极值点讨论； 极值是局部概念，最值是整体概念； 导数为零只是可导极值点的必要条件； 不能脱离定义域和研究区间讨论单调性与最值； 求最值时，函数图象和单调性有时比直接计算更高效。
五、题型归纳总结
题型一：利用导数判断单调区间
例题1
求函数 的单调区间。
① 命题意图
考查利用导数判断单调性的基本流程，重点关注导数因式分解、临界点和符号判断。
② 完整、规范解答
函数定义域为 。
令 ，得 或 。
当 或 时，；
当 时，。
所以，函数在 和 上单调递增，在 上单调递减。
③ 画龙点睛思路点拨
导数零点将定义域划分为若干区间，单调性由各区间内导数符号决定。
④ 一句话易错提醒
求出 的根，只是完成了"找关键点"，还必须判断导数符号。
题型二：利用导数判断极值
例题2
求函数 的极值。
① 命题意图
考查导数符号变化与极值之间的关系，并区分极值点和极值。
② 完整、规范解答
由例题 1 可知：
函数在 上递增； 函数在 上递减； 函数在 上递增。
因此：
处由增变减，取得极大值； 处由减变增，取得极小值。
计算：
所以，函数在 处取得极大值 7，在 处取得极小值 。
③ 画龙点睛思路点拨
极值判定的核心是导数变号：：极大值；：极小值。
④ 一句话易错提醒
是极值点，7 和 是极值，二者不能混淆。
题型三：辨析 与极值
例题3
判断函数 在 处是否取得极值。
① 命题意图
突破"导数为零就是极值点"的典型思维定式。
② 完整、规范解答
当 时，。
所以函数在 和 上均为增函数，导数在 左右不变号。
因此，函数在 处不取得极值。
③ 画龙点睛思路点拨
判断极值要看导数是否变号，而不是只看导数是否等于零。
④ 一句话易错提醒
是可导极值点的必要条件，但不是充分条件。
题型四：求闭区间上的最值
例题4
求函数 在区间 上的最大值和最小值。
① 命题意图
考查闭区间最值的规范求法，突出端点比较的重要性。
② 完整、规范解答
由前面可知 。
在 内的内部临界点为 ，。
分别计算：
比较可得：，。
③ 画龙点睛思路点拨
闭区间最值的候选点固定为：两个端点 + 区间内部所有临界点。
④ 一句话易错提醒
只比较极大值和极小值而忽略端点，不能保证得到闭区间最值。
题型五：利用最值解决恒成立问题
例题5
若不等式 在区间 上恒成立，求实数 的取值范围。
① 命题意图
考查"恒成立问题—函数最值"的等价转化。
② 完整、规范解答
令 。
由例题 4 知 。
要使 在 上恒成立，必须且只需 。
所以 。
③ 画龙点睛思路点拨
"函数值始终不低于 "意味着 不能超过函数的最小值。
④ 一句话易错提醒
看最小值，不等式方向不要写反。
题型六：含参数函数的极值点个数
例题6
已知 ，讨论函数极值点的个数。
① 命题意图
考查参数对导函数零点和符号变化的影响，突出临界参数的讨论。
② 完整、规范解答
其判别式为：
当 时：。因二次函数 开口向上，所以 对任意 成立，函数单调递增，无极值点。
当 时：。导数在 两侧不变号，因此函数仍单调递增，无极值点。
当 时：。导函数有两个不相等的实根，且因其开口向上，导数符号依次为 。因此原函数先增、后减、再增，有两个极值点。
综上： 时无极值点； 时有两个极值点。
③ 画龙点睛思路点拨
判断极值点个数要完成"求导函数零点"和"判断导数变号"两步。
④ 一句话易错提醒
当 时，虽然有 ，但导数不变号，不能判定为极值点。
题型七：一题多变与一题多解
以 （）为例，求其最小值。
解法一：导数法
当 时，；当 时，。
因此，函数在 处取得最小值：。
解法二：基本不等式法
由 ，，得：
当且仅当 ，即 时取等号。
变式
求 （）的最小值。
利用基本不等式：
当 时取等号，故最小值为 4。
六、典型错题分析
错题一：把导数为零当成极值点
错误根源：混淆"必要条件"和"充分条件"。
纠错方案：看到 后，必须继续判断：导数是否变号；或者在适用条件下利用二阶导数辅助判断。
避坑口诀：零点要验号，极值看变号。
错题二：求最值漏掉端点
错误根源：将局部极值误认为闭区间上的整体最值。
纠错方案：固定写出 再统一比较。
避坑口诀：闭区间最值，端点不能缺席。
错题三：忽略研究区间
错误根源：把函数在整个定义域上的性质与在指定区间上的性质混淆。
纠错方案：求出临界点后，立即检查 ？区间外的临界点不参与该区间最值比较。
错题四：混淆极值点与极值
错误示例："函数的极小值点为 。"
正确表达：
极小值点为 （自变量的值）； 极小值为 （函数的值）。
避坑口诀：极值点是"点"（ 值），极值是"值"（ 值），答题千万别搞混。
错题五：恒成立不等式方向写反
错误示例：由 恒成立，错误推出 。
正确理解：
恒成立 （ 比最小值还小，自然比所有函数值都小） 恒成立
避坑口诀："大于恒成立"看最小，"小于恒成立"看最大，方向千万别颠倒。
错题六：参数重根时误判为极值
错误示例：，，令 得 ，直接判定 为极值点。
正确分析： 对所有 成立，且仅在 处为 0。导数不变号（始终非负），函数在 上单调递增， 不是极值点。
避坑口诀：判别式为零时，务必验证导数是否真正变号，不可草率下结论。
七、高考真题链接
真题1（2022·全国甲卷·理科）
已知函数 和 有相同的最小值。
(1) 求 ； (2) 证明：存在直线 ，其与两条曲线 和 共有三个不同的交点，并且从左到右的三个交点的横坐标成等差数列。
考场破题思路
第 (1) 问：分别求 和 的最小值（利用导数找极值点），令两者相等解出 。
第 (2) 问：利用第 (1) 问结论 ，分析两函数图象的交点个数，结合单调性和零点存在定理。
简便解法提示
，，令 得 ， 为最小值。
，，令 得 ， 为最小值。
两函数最小值均为 1，故 。
步骤分拆解
求 、找极值点、求最小值：3 分 求 、找极值点、求最小值：3 分 令两者相等解 ：2 分 第 (2) 问分析交点：4 分（含图象分析、零点定理）
时间分配建议：本题建议用时 12—15 分钟，第 (1) 问 5 分钟，第 (2) 问 7—10 分钟。
真题2（2023·全国乙卷·理科）
已知函数 。
(1) 求 的单调区间和极值； (2) 若函数 在区间 上单调递增，求 的取值范围。
考场破题思路
第 (1) 问：直接求导，令 找临界点，列表判断符号。
第 (2) 问：利用第 (1) 问的单调递增区间 ，建立区间包含关系 。
简便解法提示
，令 得 。
递增区间 ，递减区间 ，极大值 。
由 得 且 ，解得 。
步骤分拆解
求导正确：2 分 列表判断符号：3 分 写出单调区间和极值：3 分 建立包含关系不等式组：3 分 解出 的范围：2 分
时间分配建议：本题建议用时 10—12 分钟。
真题3（2024·新高考Ⅰ卷）
已知函数 。
(1) 当 时，求 的单调区间； (2) 若 ，求 的取值范围。
考场破题思路
第 (1) 问：代入 ，求导化简，因式分解后列表判断。
第 (2) 问：将不等式转化为关于 的表达式，分离参数或利用最值处理。
简便解法提示
第 (2) 问关键转化：
当 时，需 。
右边最小值在 时趋近 ，故 。
步骤分拆解
求导化简：3 分 列表判断单调性：4 分 不等式转化：3 分 求参数范围：3 分
时间分配建议：本题建议用时 15—18 分钟。
真题4（2022·新高考Ⅱ卷）
已知函数 。
(1) 讨论 的单调性； (2) 求 的极值。
考场破题思路
第 (1) 问：求导 ，令 得 ，列表判断。
第 (2) 问：由单调性直接得出极值。
简便解法提示
时 （递减）， 时 （递增）。
极小值 ，无极大值。
步骤分拆解
求导正确：2 分 列表判断：3 分 写出单调区间：2 分 求极值：2 分
时间分配建议：本题建议用时 8—10 分钟。
真题5（2025·新高考Ⅰ卷）
已知函数 。
(1) 求曲线 在点 处的切线方程； (2) 若 在区间 上单调递增，求 的最大值； (3) 若对任意 ，存在 ，使得 ，求 的最小值。
考场破题思路
第 (1) 问：求 ，计算 和 ，写出切线方程。
第 (2) 问：利用和差化积公式化简 ，分析符号变化确定递增区间。
第 (3) 问：转化为求 的最大值与最小值之差，利用量词翻译处理。
简便解法提示
在 上 ，，故 ， 递增。
的最大值为 。
步骤分拆解
求导正确：2 分 切线方程：2 分 化简 ：3 分 分析单调性：3 分 第 (3) 问分析：3 分（压轴问）
时间分配建议：本题建议用时 18—22 分钟（压轴题）。
八、作业布置（三层分层）
A层（基础层 · 面向基础薄弱学生）
建议用时：40 分钟
目标：掌握求导、找临界点、列表判断单调性的基本流程，确保基础题不丢分。
改编：求函数 的单调区间和极值。 改编：求函数 在区间 上的最大值和最小值。 基础巩固：已知 ，求 的单调递减区间。（注意定义域 ） 基础巩固：若 在 上单调递增，求 的取值范围。
B层（提升层 · 面向中等学生）
建议用时：50 分钟
目标：掌握含参讨论、恒成立问题、零点个数分析等中档题型。
《新考案》改编：已知 ，讨论 的单调性，并求 恒成立时 的值。 教材习题变式：已知 ，若 在区间 上单调递增，求 的取值范围。（与高考真题同源变式） 综合提升：已知 有三个零点，求 的取值范围。（利用极值分析图象与 轴交点） 《新考案》：已知 ，求 在 上的最大值和最小值。
C层（拔高层 · 面向优等生）
建议用时：60 分钟
目标：掌握综合探究、开放变式，对接高考创新考法。
探究题：已知 ，讨论 的极值点个数随参数 的变化情况。（需结合判别式和变号分析） 开放变式：设 ，是否存在实数 ，使得 在 上的最大值为 ？若存在，求 的值；若不存在，说明理由。 高考创新题型：已知函数 的导函数 的图象如图所示（给出 图象），请根据图象回答：(1) 的单调区间；(2) 的极值点及极值；(3) 若 ，求 在 上的最大值。（考查由导函数图象还原原函数性质的能力） 《新考案》压轴题：已知 （），(1) 当 时，求 在 上的最小值；(2) 若 对一切 恒成立，求 的取值范围。
九、课堂总结 + 思维导图
本节课我们围绕"导数与函数的极值、最值"这一核心主题，系统梳理了以下知识脉络：
概念层面：明确了极值（局部概念）与最值（整体概念）的本质区别，理解了 是极值点的必要条件而非充分条件。 方法层面：掌握了"求导 → 找临界点 → 判断导数符号 → 研究单调性 → 判断极值 → 比较最值"的完整函数研究流程。 应用层面：学会了利用最值处理恒成立问题、利用极值分析零点个数、利用单调性比较大小等核心技能。 思想层面：深刻体会了分类讨论、数形结合、转化与化归等数学思想在导数问题中的综合运用。
思维导图文本框架
导数与函数的极值、最值
│
├── 一、基本概念
│ ├── 极值（局部概念）
│ │ ├── 极大值：f'(x) 由正变负
│ │ └── 极小值：f'(x) 由负变正
│ ├── 最值（整体概念）
│ │ ├── 闭区间上必存在（连续函数）
│ │ └── 候选点：端点 + 内部临界点
│ └── 必要条件：f'(x₀) = 0（可导前提下）
│
├── 二、核心方法
│ ├── 单调性判定
│ │ ├── f'(x) > 0 ⟹ 递增
│ │ └── f'(x) < 0 ⟹ 递减
│ ├── 极值判定
│ │ ├── 第一充分条件：看变号
│ │ └── 第二充分条件：二阶导数（拓展）
│ └── 最值求法
│ ├── 步骤：求导 → 找临界点 → 算端点 → 比较
│ └── 注意：极值 ≠ 最值，端点不能忘
│
├── 三、核心应用
│ ├── 恒成立问题
│ │ ├── f(x) ≥ a ⟺ a ≤ min f(x)
│ │ └── f(x) ≤ a ⟺ a ≥ max f(x)
│ ├── 零点个数
│ │ └── f(x) = m ⟺ y=f(x) 与 y=m 交点数
│ ├── 参数范围
│ │ └── 分离参数 + 求最值
│ └── 不等式证明
│ └── 构造函数 + 求最值
│
├── 四、易错警示
│ ├── f'(x₀)=0 ⟹ 极值？（需验号）
│ ├── 闭区间最值忘端点
│ ├── 忽略定义域
│ ├── 极值点 vs 极值（混淆）
│ └── 恒成立不等式方向写反
│
└── 五、教材溯源
├── 人教版：概念体系完整、程序规范
├── 湘教版：情境直观、建模意识
└── 互补使用：人教版建框架 + 湘教版拓情境。
十、教师寄语：
人生如函数，有起伏才有高度；导数为零处，未必是终点，也可能是新的起点。真正的极值，不在于一时的得失，而在于整个定义域上，你是否找到了属于自己的最大值。
同学们，导数告诉我们变化的趋势，极值告诉我们关键的节点。学习如此，人生亦然——在"导数为零"的迷茫时刻，不要急于下结论，要像判断极值点一样，看看两边的"趋势"如何变化。也许此刻的"零点"，正是你人生函数由减转增的那个关键拐点。加油！
