硕士研究生入学考试 数学分析（回忆版，附参考答案）

重要说明：官方从未公开发布原版试卷，此为考生回忆整理版本；参考答案为数学爱好者推导，非官方标答。整套共7大题。

题1（14分）求极限

解答黎曼和：

题2（16分）微分中值证明

设在二阶可导，，且。求证：，使得。

证明设满足，则。在处泰勒展开：

代入：

代入：

若，则，； 若，则，。 故。

题3（16分）积分证明

设在连续，。证明：至少存在两个不同点，使得。

证明令，则。分部积分：

得到。 令，则。罗尔定理：。 于是。两次罗尔定理：；，。证毕。

题4（16分）函数项级数

讨论级数在上的一致收敛性。

解答记。 求导：，临界点。

发散，M判别法失效。 取点列，，通项不能一致趋于0。级数在不一致收敛。 补充：对任意，级数在一致收敛。

题5（16分）偏微分方程变量替换

设二阶连续可微，令，变换方程：

解答

代入原方程：

题6（16分）平面曲线积分

：上半椭圆，从到。

解答

补直线段，构成逆时针闭合曲线。格林公式：

上积分：

题7（16分）曲面积分

：锥面，取上侧。

解答补，取下侧。为闭合曲面外侧。高斯公式：

柱坐标：

取下侧：

2010卷特点小结

1. 题1三次幂黎曼和；题2最大值条件泰勒展开证明二阶导数上界；
2. 题3十次幂积分条件证明两个零点；
3. 题4通项上确界不趋于0，判定在不一致收敛；
4. 题5二阶偏微分方程变量替换；题6格林公式计算椭圆上半部分第二类曲线积分；题7锥面补圆盘高斯公式。

一、物体转动惯量的计算公式

• 设空间物体,其密度函数即在点的密度为. 该物体绕轴旋转的转动惯量

二、典型例题

三、物体对质点引力的计算公式

• 设万有引力常数为,则力在三个坐标轴的分量分别为

四、典型例题