2026年10月高等教育自学考试(高等数学(一))(课程代码 00020)试卷·附答案解析

**考生须知**：本试卷共 24 题，满分 100 分。答题时**不允许使用任何计算器**，请自备草稿纸。

1．函数 f(x) = √(x−1)/(x−3) 的定义域是（　　）。

A．[1, 3)∪(3, +∞)

B．(1, 3)∪(3, +∞)

C．[1, +∞)

D．(1, +∞)

2．设函数 f(x) = 2x + 1，则复合函数 f(f(x)) = （　　）。

A．4x + 1

B．4x + 3

C．4x + 2

D．2x + 3

3．极限 lim(x→2) (x²−4)/(x−2) = （　　）。

A．0

B．2

C．4

D．不存在

4．利用两个重要极限，lim(x→0) sin3x/x = （　　）。

A．0

B．1

C．1/3

D．3

5．函数 f(x) = (x²−1)/(x−1) 的间断点是 x = （　　）。

A．1

B．0

C．−1

D．2

6．设函数 f(x) = x³ + 2x，则其导数 f'(x) = （　　）。

A．3x²

B．3x² + 2

C．x² + 2

D．3x + 2

7．由方程 x² + y² = 1 确定的隐函数求导，dy/dx = （　　）。

A．x/y

B．y/x

C．−x/y

D．−y/x

8．用洛必达法则求极限 lim(x→0) (eˣ − 1)/x = （　　）。

A．0

B．e

C．不存在

D．1

9．函数 f(x) = x³ − 3x 的极值中，极小值为（　　）。

A．−2

B．0

C．2

D．−1

10．不定积分 ∫ 2x dx = （　　）。

A．2x² + C

B．x² + C

C．x²

D．2 + C

11．

某商品的需求函数为 Q = 100 − 2P，其中 P 为价格，Q 为需求量。求价格为 20 时的需求量。

12．

计算极限 lim(x→∞) (2x² + 3x)/(x² + 1)。

13．

求函数 y = ln x + x² 的导数 y'。

14．

已知某产品的收益函数 R(q) = 20q − q²，求边际收益函数，并求产量 q = 5 时的边际收益。

15．

用换元积分法求不定积分 ∫ 2x(x² + 1)³ dx。

16．

利用等价无穷小计算极限 lim(x→0) (1 − cos x)/x²。

17．

求函数 y = x ln x 的导数 y'，并求曲线在点 (1, 0) 处的切线方程。

18．

求函数 f(x) = x³ − 3x² + 1 的单调区间和极值。

19．

用洛必达法则计算极限 lim(x→0) (x − sin x)/x³。

20．

用分部积分法计算定积分 ∫(0→1) x eˣ dx。

21．

（1）求曲线 y = x² 与直线 y = x 的交点坐标；

（2）利用定积分计算由曲线 y = x² 与直线 y = x 所围成的平面图形的面积。

22．

（1）求微分方程 dy/dx = 2x 的通解；

（2）求满足初始条件 y(0) = 1 的特解。

23．

设二元函数 z = x²y + y³。

（1）求偏导数 ∂z/∂x 与 ∂z/∂y；

（2）求全微分 dz。

24．

计算二重积分 ∫∫(D) (x + y) dxdy，其中 D 是由直线 x = 0，x = 1，y = 0，y = 1 所围成的矩形区域。

（1）将二重积分化为累次积分；

（2）计算该二重积分的值。