2027高三数学复习 | 函数性质综合与抽象函数分层提分讲义
- 2026-10-10 13:25:24
把单调性、奇偶性、周期性、对称性叠在一道小题里，是近年高考数学的常客，也是压轴小题的高频来源。它不考某一性质的单一记忆，而考学生能不能把每条性质“翻译”成可检验的条件，再把陌生点的函数值“搬”到已知区间。
01 性质叠加：先翻译、再排除
同时给出多条性质时，先把每条性质写成代数条件：奇偶性对应 ，周期性对应 ，对称性对应 或 。逐条检验、逐步排除，比同时展开所有条件更可靠。
【1985年全国卷·第3题】 在下面给出的函数中，哪一个函数既是区间 上的增函数，又是以 为周期的偶函数（ ）
A．（）
B．（）
C．（）
D．（）
答案：选B。
是偶函数但无周期，排除A；
以 为周期，在 上 单调递增，且为偶函数，符合；
有周期 、为偶函数，但在 上单调递减，排除C；
有周期 但非偶函数，排除D。
提示： 先查最容易的条件（周期、定义域），再查奇偶性，最后查区间单调性，一票否决、立即排除。
02 奇偶与单调联用：把 f 去掉
奇函数在对称区间上单调性相同，偶函数相反。这条性质把未知区间上的单调性归结为已知区间，是解 型不等式、比较函数值的通用工具：先用奇偶性把自变量统一到同一单调区间，再用单调性去掉 。
【2017年新课标1卷·第5题】 函数 在 单调递减，且为奇函数。若 ，则满足 的 的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
答案：选D。
由奇函数 ，故 即 。
在 上单调递减，函数值大者自变量小，于是 ，解得 。
提示： 抽象不等式三件套——奇偶性补函数值、单调性去掉 、结合定义域求交集。
03 三角函数：端点相位定位
正弦型、余弦型的周期、对称轴、对称中心、零点与单调区间，全由整体相位 决定。判断某区间是否单调时，把区间端点代入整体相位，看是否落在同一增减段内即可。
【2017年新课标3卷·第6题】 设函数 ，则下列结论错误的是（ ）
A． 的一个周期为
B． 的图象关于直线 对称
C． 的一个零点为
D． 在 单调递减
答案：选D。
的最小正周期为 ，故 也是周期，A对；
时 ， 为最值，是对称轴，B对；
，C对；
当 时 ，余弦先减后增、并非单调递减，D错。
提示： 端点相位定位法——把区间端点代入整体相位，落在同一增减段才算单调。
04 三次函数：求导定单调、平移定对称
三次函数 的性质由导数完全决定： 的判别式定极值点个数；图象中心对称，对称中心为拐点；两端极限保证必有零点；切点斜率由导数值给出。
【2022年新高考1卷·第10题（多选）】 已知函数 ，则（ ）
A． 有两个极值点
B． 有三个零点
C．点 是曲线 的对称中心
D．直线 是曲线 的切线
答案：选AC。
，令得 ，两侧导数变号，故有两个极值点，A对；
，，，故仅在 内有一个零点，共一个，B错；
为奇函数、对称中心 ， 的对称中心为 ，C对；
令 得 ，切点处切线分别为 、，均非 ，D错。
提示： 三步走——求导定单调区间、极值点函数值判零点、奇函数平移定对称中心。
05 对称周期叠加：先推周期再搬点
函数若同时具备奇偶性、轴对称、中心对称中的两条，先翻译成对称关系；一条对称轴与一个对称中心（或两条对称轴）即可推出周期，从而把任意点的函数值转移到已知区间。平移型奇偶条件 奇/偶，对应关于点 对称/关于直线 对称。
【2021年新高考2卷·第8题】 已知函数 的定义域为 R， 为偶函数， 为奇函数，则（ ）
A． B．
C． D．
答案：选B。
偶 ，
即 ；
奇 ，
即 。
联立得 ，
故 ，周期为4。
又 为奇函数，；
偶令 得 ；
由周期4，，B对。
提示： 一条对称轴 加一个对称中心 推出周期 ；两条对称轴推出 。
06 抽象函数：赋值法推性质
只给函数方程、不给解析式的抽象函数，性质全靠赋值法推出：先令 求 ，再令 或 判奇偶性，由递推式观察周期，求和按完整周期分组、余项逐个算。
【2022年新高考2卷·第8题】 若函数 的定义域为 R，且 ，，则 （ ）
A． B． C． D．
答案：选A。
令 ：；
令 ： 为偶函数；
令 ：，周期6。
，，，，，一个周期内和为0。
，故
。
提示： 抽象函数三招——赋值求值、递推判周期、按周期分组求和。
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