八上复习题13:角平分线交角多大?五角星尖角和为何180°

教材原题｜复习题13 拓广探索

8. 如图，在△ABC中，BE，CF是角平分线，且BE，CF相交于点G。求证： （1）∠BGC＝180°−(1/2)(∠ABC＋∠ACB)； （2）∠BGC＝90°＋(1/2)∠A。

9. 如图，连接AC，AD，BD，BE，CE。求证：∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°。

同学们，复杂图形中的角度关系，常常藏在一个简单三角形里。第8题需要找到角平分线围成的小三角形；第9题要把分散在五个尖端的角，转移到同一个三角形中。今天不靠量图猜答案，而是一步步说明关系为什么成立。

先猜一猜

两条内角平分线相交，夹出的∠BGC一定是直角吗？五角星画得不对称，五个尖角的和还会是180°吗？先留住猜想，再观察哪些条件真正决定答案。

01 · 围绕目标角，先圈出△BGC

第8题：目标角在哪个三角形里？

要研究∠BGC，先找到△BGC。它的另外两个内角分别是∠GBC和∠BCG。这里G在角平分线BE、CF上，所以BG与BE同向，CG与CF同向。

BE平分∠ABC，给出∠GBC＝(1/2)∠ABC；CF平分∠ACB，给出∠BCG＝(1/2)∠ACB。注意平分的是B、C处的内角，不是把边长分成两半。

02 · 小三角形的三个内角，总和仍是180°

第（1）问：把两半角代入内角和

在△BGC中，∠BGC＋∠GBC＋∠BCG＝180°。因此∠BGC＝180°−∠GBC−∠BCG。

代入刚才的两个半角，得到∠BGC＝180°−(1/2)∠ABC−(1/2)∠ACB＝180°−(1/2)(∠ABC＋∠ACB)。第（1）问得证。

最后括号中的两个角都要乘二分之一，不能只把其中一个角折半。这个式子来自小三角形，左右两端的角则用大三角形的角来表示。

03 · 小三角形列式，大三角形换元

第（2）问：再用大三角形替换一组角

回到△ABC，由内角和得∠ABC＋∠ACB＝180°−∠A。把这一整体代入第（1）问，就有∠BGC＝180°−(1/2)(180°−∠A)。

去括号并整理：∠BGC＝180°−90°＋(1/2)∠A＝90°＋(1/2)∠A。第（2）问得证。

减去括号时，括号里面的负号要随之改变，不能误写成90°−(1/2)∠A。这一步容易出错，最好把中间的180°−90°写出来再合并。

这个结论还告诉我们：∠BGC一定是钝角

三角形的∠A大于0°且小于180°，所以90°＜∠BGC＜180°。因此它不是直角，而是钝角。若∠A＝60°，∠BGC＝120°；若∠A＝80°，∠BGC＝130°。

这里说的是以GB、GC为两边的∠BGC。两条直线相交还会形成邻补角，邻补角的大小是90°−(1/2)∠A，不能把两个不同的角混在一起。

04 · 把五个尖角，搬到△PQE中

第9题：先给两个已有交点取名字

按原图，设AD与BE相交于P，AD与CE相交于Q。沿AD从上向下，点的顺序是A、P、Q、D；沿BE从左向右，是B、P、E；沿CE，是C、Q、E。

这样就能看见右侧的小三角形PQE。我们准备证明：它在P处的角等于∠B＋∠D，在Q处的角等于∠A＋∠C，再加上E处的尖角，正好凑齐五个角。

给交点命名不是随便添条件，只是让图中已有的位置更容易表达。证明过程中要始终依据原图的共线关系与点的顺序判断延长方向。

在P处，为什么得到∠B＋∠D？

看△BPD：B处的角就是五角星的尖角∠B，D处的角就是尖角∠D。PB向另一侧延长到E，所以∠DPE是△BPD在P处的外角。

由外角性质，∠DPE＝∠B＋∠D。又因为P、Q、D共线且Q、D在P的同侧，射线PQ与PD重合，所以∠QPE＝∠B＋∠D。

在Q处，为什么得到∠A＋∠C？

再看△ACQ：A处的角是尖角∠A，C处的角是尖角∠C。QC向另一侧延长到E，因此∠AQE是△ACQ在Q处的外角，等于∠A＋∠C。

A、P都在Q的同一侧，所以QA与QP是同一条射线，得到∠PQE＝∠A＋∠C。两次外角关系，分别把两组尖角相加，转移到了小三角形的两个顶点。

最后一步：三角形内角和收尾

在△PQE中，∠QPE＋∠PQE＋∠PEQ＝180°。其中∠PEQ就是五角星尖端的∠E。代入前面的关系，得到（∠B＋∠D）＋（∠A＋∠C）＋∠E＝180°。

所以∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝180°。原题所示这种交叉关系保持时，五个尖角不必相等，图形也不必是正五角星。

不要把五角星当成普通五边形

题目相加的是五个尖角，不是一个普通五边形的五个内角，不能直接套五边形内角和公式。也不能把尖角各当成36°：只有额外满足相应对称条件时，才可讨论五角相等；原题只要求证明总和。

名师方法｜找小三角形，用已知关系转移角

角平分线题，把两半角放进目标三角形；交叉图形题，先标交点，再借外角性质搬运角。每写一条等式，都明确来自哪个三角形、哪条共线关系，最后用内角和完成证明。

为什么第8题要分成两问？

第一问保留了底部两个角，直接对应两条角平分线，是从图形到等式的第一步。第二问把这两个角的和换成顶角的表达式，让结果只与顶角有关。这不是两个互不相干的公式，而是同一个关系的两种写法。

今后遇到题目先让证明一个式子、再证明另一个式子，可以先比较它们有什么不同：哪些量被替换了，替换依据是什么。这样能利用上一问的成果，不必每次重新开始。

五角星证明怎样在草稿纸上操作？

先用一种颜色描出右侧的小三角形，再分别描出左下和左上的两个三角形。每换一个观察对象，就暂时忽略其他线段。外角顶点附近最容易看错，要检查一条边是否真正沿直线向反方向延长。

完成后逐个核对五个尖角：每一个都出现一次，既没有漏掉，也没有重复。这样的核对比量出几个近似度数再相加更可靠，因为证明解释的是所有保持题图位置关系的情况，而不是某一次画图的测量结果。

当堂检测

1. 第8题若∠A＝40°，∠BGC是多少？ 2. 第9题能否断言每个尖角都是36°？ 3. ∠QPE由哪两个尖角相加得到？

想好再看：110°；不能；∠B与∠D。

内容依据：新人教版八年级上册数学第十三章《三角形》第22页，复习题13“拓广探索”第8、9题。

图形再复杂，也可以从一个三角形开始。