也可以在文末点击-阅读原文

27考前百题066 | 现在模拟题都这么夯！集合与函数新定义压轴

今天小派分享的这篇百题来自同学问的问题，查了一下是来自上个月的模考卷，广州六中、深圳红岭中学2027届高三年级9月联考第19题（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“27届模拟卷”获取）。

【广州六中27届高三9月联考T19】（关注：Hi数学派）已知函数  的定义域为 ，对 ，定义集合

（1） 若 ，求集合 ，；（2） 若  满足对任意 ，集合  均恰好含有一个元素 .（i） 证明：；（ii） 求所有可能的 。

解析：

（1） 当  时，不等式  即

所以对任意 ，均有 

故 ，

（2）（i）证明：（关注：Hi数学派）由题意，，则 

由定义可得

由加法与乘法的交换律，上式等价于

根据定义，表明 

又由题意， 恰有一个元素 

故必有 

（ii）

① 先证明对任意 ，恒有 

反证法： 假设存在 ，使得 

由 （i） 知 

则 ，

因为 ，所以 

同理 

两式相加得

这与 （即 ）矛盾。

所以对任意 ，恒有 ，即 

② 求  的解析式

由 ，得 （）

下面证明：对任意 ，均有 

思路1，显式构造法：（关注：Hi数学派）假设存在 ，使得 

记 

对任意 ，由于 ，则

取 ，则 ，代入得

这与  矛盾。

所以不存在使  的点

思路2，邻域不等式法： 假设存在 ，使得 （其中 ）

对任意 ，因 ，则 ，必有

又已知 ，代入上式得

整理得

但实数连续，必存在  使得 （例如取 ）

此时因 ，

产生矛盾。

所以 

综上，（关注：Hi数学派）对任意 ，均有 

注： 本题是一道立意高远且设问精巧的压轴好题。命制方式上采用“小步递进、层层搭梯”的结构，通过第（1）问的特殊化计算引导猜出答案，再通过第（2）（i）问的性质铺垫层层递进至最终严格证明；考查知识点上虽以集合为外壳，实质聚焦于基本不等式、完全平方配方以及函数的映射关系；思想技巧上则极为高明，不仅考查了变量的“对称性”，更深挖了集合元素“唯一性”的数学内涵，通过两次极具张力的“反证法”与“目标驱动式的局部构造”，将原本抽象的分析问题转化为高中生熟悉的一元二次不等式配方化简，全过程无需连续性等高等概念，既符合高考考纲，又极具思维深度与区分度。