高考真题精讲系列 001-005 合辑（解析版）

• 001 | 三次函数高考真题看似简单？
• 方法一：分离参数法
• 方法二：多项式恒等式法
• 方法三：主元转换与因式分解法
• 002 | 网上说明年该考天津风格的导数了？
• 1、多种方法解析
• 2、该题简要评析
• 3、什么是刘维尔定理？
• 4、模考中的刘维尔“套壳”新定义
• 003 | 12年前经典导数结合三角函数高考真题
• 1、巴蜀月考（二）导数三角函数
• 2、2014 辽宁卷理科T 21
• 3、2014 辽宁卷文科T 21
• 004 | 圆压轴起来也不简单！
• 005 | 难崩！高一碰上史上最难高考压轴会怎样
• 1、厦门一中27届高一10月适应考T19
• 2、青岛期末再次改编全国一卷压轴
• 3、回忆今年最难高考压轴题
• 4、该题和全国一卷压轴的关系
• 1）核心集合的“换壳”与“隐蔽”
• 2）前两问的设问功能改变
• 3）第（3）问参数的微调与结论的延伸

001 | 三次函数高考真题看似简单？

今天该系列第一道题目素材来自十年前的江苏卷—— 2015 江苏卷第 19 题。该题命题素材是同学们熟悉的三次函数，看似很简单实则也不难哈哈哈，只不过该题的问法感觉挺别致，对同学们来说可能会比较新奇，但是转化起来也不难，所以该篇高考真题精讲系列就讲一下这道题目，下面利用三种解法来给同学们精讲一下，其中方法二是思路最直接简单的方法，就是稍微有点运算量；方法三利用主元变换思想比较巧妙，最后还需要验证。另外，别以为简单的三次函数题目都很简单，高考史上有很多以三次函数为背景的题目，其中也不乏难题，后面也可以选几道给同学们讲讲。记得前面也讲过以二次函数为素材命制的高考真题或模考题，看似简单但也做起来也不容易，比如《27考前百题040 |快20年的二次函数新定义高考题简单？但要看懂解法背后的赋值原理》、《27考前百题017 | 二次函数简单你也不会！全是心眼子啊！太吃操作技巧！》

【2015江苏高考T19】（关注：Hi数学派）已知函数 （，）.（1） 试讨论  的单调性；（2） 若  (实数  是与  无关的常数)，当函数  有  个不同的零点时， 的取值范围恰好是 ，求  的值。

解析：

（1）

令 ，得根 ，

• 当  时，， 在  上单调递增。

• 当  时，，由  得  或 ；由  得 

  故  在  和  上单调递增，在  上单调递减。

• 当  时，

  同理可得： 在  和  上单调递增，在  上单调递减。

（2）（关注：Hi数学派）由 （1） 知， 时  才有极值，极值点为  和 ，两个极值分别为

 有  个不同零点  极大值与极小值异号

即不等式

的解集恰为

方法一：分离参数法

上述不等式等价于

令 

（关注：Hi数学派）不等式成立意味着常数  必须严格介于  与  之间

• 当  时，，需满足  恒成立。

  ，故在  上， 在  处取得最大值 ；且  的下界为 （）

  为使  恒成立，必有 ，即 ，解得 

• 当  时，，需满足  恒成立。

  此时 ； 在  上单调递减，下确界为 

  为使  恒成立，必有 ，即 

综上，满足条件的实数 

方法二：多项式恒等式法

不等式

的解集边界点为 ，，

（关注：Hi数学派）说明方程

的根为 ，，（其中  两侧符号不反转，为二重根）

考察首项系数，构造恒等式

下面直接对比两边关于  的一次项系数

左边展开的一次项为：

系数为 。

右边可化为

一次项为

系数为 

故 ，解得 

方法三：主元转换与因式分解法

将  重新整理为关于  的式子：

（关注：Hi数学派）即

若要使该方程存在一个与  无关的固定根，需令 ，得 

若  是根，代入得

验证  时的情况：此时

要使  有  个不同零点，二次方程

需有  个不等于  的相异实根，则

即

（关注：Hi数学派）解得

恰与题意吻合，故 

002 | 网上说明年该考天津风格的导数了？

在今年26年高考后一段时间，网上不少网友因为全国一卷的导数压轴竟然出其不意地带有明显的上海高考抽象函数风格，便半开玩笑地猜测：下一年高考数学压轴是不是该轮到“天津风格”的导数了？小派我觉得，这种话当个段子听听就好，不必当真，哈哈哈哈哈。

首先天津卷导数几乎每年都带有明显的高数背景，可以参见《26高考真题 12 | 天津高考压轴传统异能！stolz定理，伯努利不等式、泰勒展开》。但高考不只是选拔，它还会对下一届乃至更长远的学生学习产生导向作用。如果高考真的考这种高数色彩浓厚的题，无异于向学生释放一个信号：想拿压轴分，就得提前学高等数学。这显然不是理想的导向。

更重要的是，这类题还会冲击教育公平。一方面，提前了解过高数的同学，在知识技巧和考场心态上都更占优势；另一方面，教育发达地区获取这类知识资源的渠道，本来就比山区、农村地区容易得多。一旦高考压轴频繁向高数背景靠拢，这种差距只会被进一步放大。

所以，网友猜测“下一年轮到天津风格导数”，当作调侃可以，但不必当真。高考压轴考什么，不能只看题目风格是否“轮转”，还要看它对教学的导向和对公平的底线。

今天该系列第二道题目素材就来自 2017 天津卷第 20 题。该题小派我在之前的推文天津卷导数系列或是信息差系列都有讲过，今天这期真题系列再精讲一次。

【2017天津高考T20】（关注：Hi数学派）设 ，已知定义在  上的函数  在区间  内有一个零点 ， 为  的导函数。（1） 求  的单调区间；（2） 设 ，函数 ，求证：；（3） 求证：存在大于  的常数 ，使得对于任意的正整数 ，，且 ，满足

1、多种方法解析

解析：

（1） 由题意，

令 ，

• 当  时， 单调递增；

• 当  时， 单调递减

故  的单调递增区间为  和 ；单调递减区间为 

（2）（关注：Hi数学派）由 （1） 知，当  时， （即 ）在  上单调递增。又知 

证法一，构造辅助函数法： 构造

求导得

• ，，；

• ，，

所以 ，。即 

构造

（关注：Hi数学派）求导得

因为  在  上 ，

• ，；

• ，。

所以 ，。即 

综合上述， 且 ，则 

证法二，拉格朗日中值定理法：

由于 ，（关注：Hi数学派）提取  得

由拉格朗日中值定理， 介于  与  之间，使得

• 若 

   且 

• 若 

   且 

综上所述 

（3）（关注：Hi数学派）令

考察有理数处的函数值

因为 ，， 且 

所以分子为非零整数，必有

证法一，零点定理法： 由 （2） 知 ，根据零点定理， 介于 ， 之间（故 ），使得 

因为 ，

所以 ，故

取 ，原命题得证。

证法二，中值定理直接放缩法：（关注：Hi数学派）由拉格朗日中值定理， 介于  与  之间，使得

因为 ，，且  （即 ）， 则 

所以

取 ，原命题得证。

小派之前版本的解析：（步骤写的更细一些）

（1） 的单调递增区间是 ，，单调递减区间是 

（2）证明：（关注：Hi数学派）由 ，得

令函数 ，则 .

由 （1） 知，当  时，，故当  时，， 单调递减；

当  时，， 单调递增.

因此，当  时，，可得 ，即 .

令函数 ，则 

由 （1） 知  在  上单调递增，故当  时， ， 单调递增；

当  时，， 单调递减.

因此，当  时，，可得 ，即 .

所以，.

（3）证明： （关注：Hi数学派）对于任意的正整数 ，，且 ，令 ，函数 

由 （2） 知，当  时， 在区间  内有零点；

当  时， 在区间  内有零点.

所以  在  内至少有一个零点，不妨设为 ，则 

由 （1） 知  在  上单调递增，故 ，于是

因为当  时，，故  在  上单调递增，所以  在区间  上除  外没有其他的零点，而 ，故 .

又因为 ，， 均为整数，

所以  是正整数，

从而 

（关注：Hi数学派）所以

所以，只要取 ，就有

注：  此题第 （3） 问以刘维尔定理为命题背景，在刘维尔定理的证明中，我们可以看出拉格朗日中值定理是构造不等式的关键。此题如果没有第 （2） 问，难度会更大！但是命题人为降低难度，命制了第二问以降低难度，第二问实质就是拉格朗日中值定理，将由拉格朗日中值定理构造的不等式在第二问给出。

2、该题简要评析

这道2017年天津卷导数压轴题是一道非常经典的“高观点、低落点”佳作，诠释天津高考命题“源于高数、归于高中”的艺术。从命制方式来看，命题人以高等数学中的“刘维尔定理”（证明代数数不能被有理数无限逼近）为背景，进行了巧妙的“降维”处理与阶梯式搭桥。第一问常规铺垫；第二问则是全题的“台阶”，实质上是在暗中引导学生利用拉格朗日中值定理（或构造辅助函数）的内核；有了第二问的铺垫，第三问的高数定理证明就水到渠成了。从考查知识点来看，（关注：Hi数学派）除了常规的多项式求导、单调性分析、零点存在性定理之外，该题最惊艳之处在于跨界融合了初等数论中最朴素的常识——“非零整数的绝对值大于等于 ”。这种将微积分与代数整数性质结合的考法，极大地丰富了考查的维度。从解题思想与技巧来看，核心在于“转化与放缩”。第三问通过将抽象的自变量  赋值为有理数 ，并利用第二问的结论（或者直接使用拉格朗日中值定理），巧妙地将函数值的差转化为了自变量的差（即距离 ）与导数值的乘积，最后借助整系数多项式算出的分子必定是“非零整数”这一技巧完成绝对值放缩。总结来说，这道题虽然披着“大学数学”的外衣，但破题的“手术刀”全是高中最常规的构造函数、零点定理、导数放缩等兵器。它启示师生：面对新定义或高数背景题不必胆怯，透过现象看本质，扎实的函数与代数变形基本功才是打破“信息差”的最强武器。

3、什么是刘维尔定理？

【刘维尔定理】（关注：Hi数学派）设实数  满足：， 都 ，，且 ， 互质，使得 ，那么  是一个超越数.

注： 这是一个用来判断一个数是否是超越数的一个定理. 这个定理的一个比较直观的解释，如果一个无理数可以被有理数很好的逼近（其误差可以用该有理数的分母的任意给定的幂次来估计），那么这个无理数是个超越数。换言之，无理数集当中，代数是不能被有理数很好的逼近的。那么，自然会想到，代数数被有理数逼近的程度大致如何？从下面定理的证明当中就能看到背后的具体内容。

刘维尔定理的证明借助拉格朗日定理可实现，下面给出证明.

证明：

假设  是某个整系数多项式  的零点，考虑  的某个邻域，不妨取为  ，对于这一邻域内任意的有理数（记为 ，其中为  正整数）.

考虑式子

（由拉格朗日中值定理可得，其中  是  与  之间的一个数）。

由多项式函数的连续性可知： 在  上有界，记为 ，即 .

（关注：Hi数学派）那么上式可以转化为

由于 ，，

所以  为正整数，

则 ，代入上式可得：

从中可以看出，此时  显然不能满足：，，都 ， 且  （即 ， 互质），使得 ，于是假设矛盾，故  是一个超越数.

注1：（关注：Hi数学派）一般来讲，强行构造出一个具体的超越数是比较困难的，例如 ， 的超越性直到 19 世纪后期才被证明出来。不过刘维尔还是利用这个定理构造出一个超越数，这个数表示为：，后人把这个数称为“刘维尔数”。

注2： 从定理的证明过程可以看到：

1. 拉格朗日中值定理是构造毕竟不等式的关键。
2. 多项式导数在闭区间上的的有界性。

在上面的 2017 年天津卷的解答过程中，可以看到命题人是如何设计题目，即将这两个关键步骤逐次展开，完成题目命制.

4、模考中的刘维尔“套壳”新定义

【河南许昌24届高三三模T19】（关注：Hi数学派）超越数得名于欧拉，它的存在是法国数学家刘维尔（Joseph Liouville）最早证明的，一个超越数不是任何一个如下形式的整系数多项式方程的根：（，，，，） . 数学家证明了自然对数的底数  与圆周率  是超越数. 回答下列问题已知函数 （ ）只有一个正零点.（1） 求数列  的通项公式；（2）（i） 构造整系数方程 ，证明：若 ，则  为有理数当且仅当  .（ii） 数列  中是否存在不同的三项构成等比数列？若存在，求出这三项的值；否则说明理由.

解析：

（1）（关注：Hi数学派）若  只有一个正零点，可得 ，

令 

令 ，

令 ， ,

故  在  上单调递增，在  上单调递减

可得  在  处取得最大值，且最大值为 

而当  时，，当  时，

由题意得，当  最大时，符合题意

故 ，即 

（2）（i）（关注：Hi数学派）若 ，则  为有理数

若  正整数，假设  为有理数，则 ，，，

则方程  的根中有有理数

又在方程  中，发现  是它的根

而已知  是超越数，故  不是方程的根，与  矛盾，即  不为有理数

综上所述，， 为有理数当且仅当 

（ii）（关注：Hi数学派）若数列  中存在不同的三项构成等比数列，则

可得

由方程右边是有理数知左边是有理数,

由上问知当且仅当  时成立，故 

则

设 ，则 ，

则

将  代入进行化简可得

故

故

构造函数 

 在其定义域内单调递减

又 ，故若 

则有 ，即  成立

（关注：Hi数学派）当且仅当  时成立.

即数列  中不存在不同的三项构成等比数列

003 | 12年前经典导数结合三角函数高考真题

今天小派这篇百题选自今天刚考的重庆巴蜀中学2027届高三9月适应性月考（二）第19题（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“27届模拟卷”获取）。该题是一道不错的导数结合三角函数的压轴题，但是并非原创题，而是改编自12年前辽宁高考文理科导数压轴。因此，小派将该篇详细讲一下这三道题目，并将该篇收录到《高考真题精讲系列》中

1、巴蜀月考（二）导数三角函数

【重庆巴蜀中学27届高三上9月月考（二）T19】（关注：Hi数学派）已知函数 （）， （1） 当  时，求  在区间  上的最大值；（2） 当  时，，求  的取值范围；（3） 当  时，是否存在 ， ，使得 ，若存在，试比较  与  的大小关系；若不存在，请说明理由。

解析：

（1）（关注：Hi数学派）当  时，

求导得 

当  时，，，

从而  恒成立，即  在  上单调递减

故 

（2） 由题意， 在  恒成立

设 ，则 ，需满足 

。

① 若 

设 

 对  成立

则  在  单调递减，，从而 ，符合题意

② 若 

此时 ，故 ，即  在  单调递减

又 ，

由零点存在定理，，使 

当  时，， 单调递增

则当  时，，与  矛盾

综上， 的取值范围为 

（3）（关注：Hi数学派）存在，且 。理由如下：

先分析 ：

当  时，，

由 （2） 中  的讨论可知， 使得 

 在  上单调递增，在  上单调递减

又 ，

故存在唯一的 ，使得 

再分析 ：

对于 ，设 

则 

令

由于 ，故

（关注：Hi数学派）求导整理得

因为 ，故  的符号与  相同

结合前面对  的分析

当  时，， 单调递增；

当  时，， 单调递减

又  时，；且 

故在区间  内存在唯一的 ，使得 ，即 

此时 ，即 

结论得证

2、2014 辽宁卷理科T 21

【2014 辽宁卷理科T 21】（关注：Hi数学派）已知函数 ，。证明：（1） 存在唯一 ，使得 ；（2） 存在唯一 ，使得 ，且对 （1） 中的 ，有 

证明：

（1） 对  求导

当  时，明显有 ，，，从而  恒成立

故  在  上单调递减

又因为 ，

根据零点存在性定理，存在唯一的 ，使得 

得证。

（2）（关注：Hi数学派）当  时，

令

则

作变量代换，令 。因为 ，故 

构造新函数

（关注：Hi数学派）对其求导并化简

由于 ，分母恒大于 ，故  的符号与  相同

结合 （1） 的结论可知

当  时，， 单调递增；

当  时，， 单调递减。

又 ，且  在  单增，故 

而 

因此，存在唯一的 ，使得 

将  代回，存在唯一的 ，使得 ，即 

由  得到 ，即 

得证。

3、2014 辽宁卷文科T 21

【2014 辽宁卷文科T 21】（关注：Hi数学派）已知函数 ，。证明：（1） 存在唯一 ，使得 ；（2） 存在唯一 ，使得 ，且对 （1） 中的 ，有 。

证明：

（1） 对  求导

当  时，，

此时 ，从而  恒成立

所以  在  上单调递增

又 ，（因 ）

由零点存在性定理，存在唯一 ，使得 

得证。

（2）（关注：Hi数学派）当  时，，有

代入  得

作变量代换，令 。因为 ，所以 

构造函数 ，则

（关注：Hi数学派）对  求导并化简

由于 ，分母 

由 （1） 知  在  单增且 

当  时，， 单调递减；

当  时，， 单调递增。

又 ，

因为  在  单增，所以 

在区间  上， 且 

故存在唯一的 ，使得 

令 ，则 ，且 

由 ，即 ，移项得 

（关注：Hi数学派）得证。

004 | 圆压轴起来也不简单！

今天小派这篇百题选自近期刚考的广东广州市十校联考2026-2027学年上学期高三年级10月适应性训练数学第7题（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“27届模拟卷”获取）。 该卷是近期模考卷中命制的非常有难度的！比如今天分享的这道题就改编自2009年江苏卷的解析几何压轴，如今改编成单选题，可想而知其难度有多大！ 今天小派详细讲一下这两道题目，并将该篇收录到《高考真题精讲系列》中

【广州市十校27届高三上10月联考T7】（关注：Hi数学派）在平面直角坐标系中，已知圆  和 ；若点  满足：存在过点  的无穷多对互相垂直的直线  和 ，它们分别与圆  和圆  相交，且直线  被圆  截得的弦长与直线  被圆  截得的弦长相等，则所有满足条件的点  的个数为

注： 该题改编自09年的江苏卷高考，解析参考下面

【江苏2009年高考T18】（关注：Hi数学派）在平面直角坐标系  中，已知圆  和圆 .（1） 若直线  过点 ，且被圆  截得的弦长为 ，求直线  的方程；（2） 设  为平面上的点，满足：存在过点  的无穷多对互相垂直的直线  和 ，它们分别与圆  和圆  相交，且直线  被圆  截得的弦长与直线  被圆  截得的弦长相等，试求所有满足条件的点  的坐标.

解析：

（1） 若直线  斜率不存在，即 ，则圆心  到  的距离为 ，不符合题意。

设直线  的方程为 ，即 

圆  半径为 ，弦长为 ，故圆心  到直线  的距离为

由点到直线距离公式得

两边平方整理得：，解得  或 

故所求直线  的方程为  或 

（2）（关注：Hi数学派）设 。因满足条件的直线有无穷多对，故可设斜率存在的直线  斜率为 （），则  斜率为 

两直线方程分别为

两圆半径相等，且截得的弦长相等，故圆心到对应直线的距离相等，即 

由  得

由于该等式对无穷多个  恒成立，去绝对值后对应系数及常数项必然分别恒等：

① 若

即

对无穷多  成立，则

此时 。代入检验，当  时 ，由连续性知存在无穷多个  使 ，直线必与两圆相交，符合题意。

②（关注：Hi数学派）若

即

同理有

此时 。同理检验可知存在无穷多个  使得直线与两圆相交，符合题意。

综上，点  的坐标为

注： 这道题命制得由浅入深、层次分明：第（1）问属于常规基础题，考查直线方程与圆的弦长公式；第（2）问则是典型的拔高题。在考点与知识上，紧扣直线与圆的位置关系、点到直线距离公式。在思想技巧上，最精彩的是其“转化与化归”的思维链条——巧妙地将“截得弦长相等”转化为“圆心到直线的距离相等”，再将“存在无穷多对垂直直线”转化为“含参绝对值方程有无穷多解”，进而利用恒等思想建立方程组求解。整个过程不仅需要扎实的代数运算能力，还暗含了分类讨论与检验相交的严密性，是一道极好地锻炼高中生“几何条件代数化”能力的优质综合题，对师生都有很好的启发价值。

005 | 难崩！高一碰上史上最难高考压轴会怎样

今天小派这篇百题选自近期刚考的厦门一中2026-2027学年高一上学期第一次适应性练习第19题（原卷和官方标答可以在公众号后台私信发消息回复关键词“27届模拟卷”获取）。尽管该题选自高一的试卷，但是这道压轴竟然改编自今年最难的高考压轴——全国一卷压轴！不敢想象高一同学做完什么感受？此外，山东省青岛市黄岛区、胶州市等2025-2026学年高二下学期期末第19题也是改编自今年全国一卷最难高考压轴，虽不能说一模一样，但是本质是一模一样的，就是借助一个新的集合定义把单调性的判定转化为了求集合，进一步增加了阅读理解的门槛！

今天小派详细讲一下这三道题目，并将该篇收录到《高考真题精讲系列》中

1、厦门一中27届高一10月适应考T19

【厦门一中27届高一上10月适应考T19】（关注：Hi数学派）已知函数  的定义域为 ，且当  时，。对任意 ，定义集合 （1） 当  时，，求 ；（2） 若  是奇函数，，且 ：（i） 求  的解析式；（ii） 证明：；（3） 设  满足：① 若 ，则 ；② 当  时，求证：

解析：

（1） 由题意，，则

• 当  即  时，

  解得 ；

• 当  即  时，

  解得 

综上，

（2）（i）（关注：Hi数学派）因为  为  上的奇函数，所以 

当  时，，

故

（ii）证明：（关注：Hi数学派）易知  在  与  上均单调递减，且当  时 ，当  时 

• 当  时，

  即 ；

• 当  时，若  则 ；若  则  恒成立，即 。故

已知  且 ，分类讨论

1. 若 ，，则 

   此时 ；

2. 若 ，，则 

   此时 ，故 ；

3. 若 ，则 

综上， 成立。

（3）证明：（关注：Hi数学派）假设 

• 若 ，取 ，则 ；

• 若 ，由 ，必存在  使得 

故总存在  满足 

由条件 ① 知 

又当  时  单调递减

对任意 ，有 ，则 

所以 

取 ，则  且 

由  得 ，这与条件② “当  时 ”矛盾。

因此假设不成立，故 

2、青岛期末再次改编全国一卷压轴

【青岛黄岛区、胶州26届高二下7月期末T19】（关注：Hi数学派）已知函数  的定义域为 ，集合 .（1） 若 ，求 ；（2） 若 ，求证：存在  在  处取得最大值；（3） 对任意 ，定义集合 。设函数  满足：① 当  时，；② 当  时，；③ 若 ，则 。(i) 证明：；(ii) 证明：

解析：

（1） 已知 

① 若 ，，由于 ，

得 ，故 ；

② 若 ，取 ，则 ，故 。

综上，。

（2）证明：（关注：Hi数学派）构造函数

显然 ，，即存在  在  处取得最大值。

下证该函数的  ：

① 若 ，则 

取 ，有

故 ；

② 若 ，则 

故 ；

③ 若 ，则 。

取 ，有 ，故 

，上述构造成立，命题得证。

（3）证明：（关注：Hi数学派）由 ① 知，当  时，，且在  上单调递增。

（i）假设。

必存在 ，使得 

因 ，由 ③ 得 

取 。

由 ，得 ，所以

但 ，由 ② 知 ，矛盾。

故假设不成立，

（ii）（关注：Hi数学派）分步证明：

Ⅰ 先证 ，

假设 ，使得 

 使 ，由 ③ 得 

由 （i） 知

但 ，矛盾！

Ⅱ 再证 ，

假设 ，使得 。

 使 ，由 ③ 得 

由 

令 。因 ，则 

由 ③ 得 。

（关注：Hi数学派）所以

这与 Ⅰ 中  矛盾！

综合 Ⅰ、Ⅱ 可知，，

Ⅲ 证  在  单调递增。

。令 ，有 。

由 （i） 知

又 ，由 ③ 得 ，所以

得证。

Ⅳ（关注：Hi数学派）确定集合 

ⅰ 若 

当  时 ；当  时 

由于 ，，只需取 ，恒有 

ⅱ 若 

由 Ⅲ，，有

综上所述，

命题得证。

3、回忆今年最难高考压轴题

这是一道极具难度、深度与选拔区分度的高质量高考压轴。从考查考点来看，本题彻底摒弃了常规的“解析式计算与求导”套路，直击高等数学背景下的公理化定义、集合的包含关系以及抽象函数的单调性，全面检验学生在陌生逻辑公理系统下的严密推理论证能力；从解题技巧来看，破局的核心高度依赖“反证法”与“化归思想”，要求解题者具备极强的代数构造能力

【2026年全国I卷T19】（关注：Hi数学派）已知函数   的定义域 ，且当  时， ，对于任意 ，定义集合.（1） 若当 ，求；（2） 若  是奇函数， ，且  ，证明：；（3） 设  满足：① 当  时， ；② 当  时，（i） 证明： ；（ii）  证明：  在区间  单调递增.

解析： （个人解析仅供参考）

（1）（关注：Hi数学派）由题意，

① 若  (即 )，则

此时 

②（关注：Hi数学派）若  (即 )，则

此时 

综上，

（2）（关注：Hi数学派） 为奇函数，且  时 ，

 时，

对于 ，化简 ，如下

Ⅰ 若 ，。

由 ，必有 

则 。

故 

Ⅱ（关注：Hi数学派）若 ，

需要解不等式 

若 （即 ），则  恒成立；

若 ，则 。

故

又已知 ，

① 若 ，

显然 ，即 

②（关注：Hi数学派）若 ，

显然 

③ 若 ，显然

④ 若 ，，，与已知矛盾。

综上， 得证。

（3）（i）（关注：Hi数学派）反证法： 假设 

取  使得 ，即 。

由条件①，

取 。

因 ，则 

这与条件②（，）矛盾。

故假设不成立，。

（ii）

Ⅰ 先证 ，

假设 ，。

取  使 。

由条件①，

由 （i） 结论及条件②知

但 ，因  时  单调递增，理应有 ，矛盾。

Ⅱ（关注：Hi数学派）证 ，。

结合Ⅰ ，进一步假设 ，

取  使 ，则

令 。

因 ，则 ，故 

将  代入左侧括号可得 

由于 ，这与Ⅰ结论（）矛盾。

Ⅲ（关注：Hi数学派）最后证在  上单调递增。

任取 

令 。因 ，则 

由 Ⅱ 知 ；

又 ，故 。

由条件①，

考察元素  是否属于 

因 ，故 

结合包含关系，

代入集合  定义：

命题得证。

4、该题和全国一卷压轴的关系

这是一道非常精彩的同源改编题，其核心灵魂完全继承自今年的全国一卷压轴题，但命题人在包装和设问层次上做了巧妙的演进。

该题在一卷压轴的基础上，主要在以下三个维度进行了改编与拓展

1）核心集合的“换壳”与“隐蔽”

• 相同本质： 该题第三问定义的集合

  在数学本质上与一卷压轴的  完全一样，代表的都是使得函数值严格增大的“向右平移步长（增量）”的集合。

• 包装升级： 该题在题设定义了一个全新的集合

  这个集合  的几何意义是“此点右侧的所有函数图像都在该点上方”。实际上， 等价于 。命题人通过引入 ，将单调性的判定转化为了求集合，增加了阅读理解的门槛。

2）前两问的设问功能改变

• 一卷压轴的前两问是让学生直接操作 ，熟悉新定义的推演；
• 该题的前两问则剥离了 ，专门用来让学生熟悉集合 。特别是第（2）问，给定了结果  反向要求学生“构造并证明”存在最大值，考察的是逆向构造能力，难度显著高于一卷压轴的代数推演。

3）第（3）问参数的微调与结论的延伸

• 参数微调： 该题中左半轴的已知函数由一卷压轴的  改编为了 。这一改动在数学推演上没有任何区别，感觉仅仅是为了防止学生直接背高考压轴的答案。
• 结论延伸： 一卷压轴的最终目标是证明“在  单调递增”；而该题的目标是证明“”。后者不仅包含了前者（右半轴单调递增），还隐蔽地要求学生额外证明“左半轴及原点均不属于集合 ”（即证明在越过原点时，函数值发生了跌落）。