中考总复习 第26讲:点、直线与圆的位置关系
- 2026-10-27 07:46:42
点和圆、直线和圆的远近，全都归结为距离 d 与半径 r 比大小。而"相切"是这条线上的黄金分割点，切线有两条铁律：垂直半径、切线长相等。这一讲内容比较多：从圆幂定理三兄弟，到点圆最值、辅助圆、托勒密、阿氏圆与米勒圆，一次收拢。
点到圆心的距离记作 d，半径为 r：d < r 在圆内，d = r 在圆上，d > r 在圆外。
直线与圆：d<r 相交、d=r 相切、d>r 相离（d 为圆心到直线的距离）
定义：与圆有且只有一个公共点的直线，叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。位置关系一节里 d = r ⇔ 相切，依据的正是这条定义。
切线垂直于过切点的半径；圆外一点引两条切线，切线长相等
判定切线有三条路：定义法（只有一个公共点）、距离法（圆心到直线距离等于半径）、垂直法（过半径外端且垂直于半径）。大题里最常用的是垂直法。
证切线的标准三步：连半径 → 证垂直 → 下结论。把圆心和直线与圆的公共点连起来，再用角度关系证这条半径垂直于直线。
过圆内一点任引两条弦，过圆外一点引切线或割线——四组线段长度被同一个式子管着，这就是圆幂定理。统一口径是：点 P 对圆的幂 = OP² − r²，圆内为负、圆上为 0、圆外为正。
圆幂定理：圆内相交弦 PA·PB = PC·PD；圆外切割线 PA² = PB·PC；圆外两切线 PA = PB
四个证明是同一套动作——找等角 → 证相似 → 写比例式（切线长走 HL）：
① 相交弦：∠APC 与 ∠DPB 是对顶角，∠PAC 与 ∠PDB 是同弧所对的圆周角，所以 △PAC ∽ △PDB，对应边成比例即得 PA·PB = PC·PD。
② 割线：连接 AD，∠P 为公共角，∠PDA 与 ∠PBC 是同弧 AC 所对的圆周角，所以 △PAD ∽ △PCB，对应边成比例即得 PA·PB = PC·PD。
③ 切割线：∠PAB 是弦切角，等于同弧所对的 ∠PCA，加上公共角 ∠P，得 △PAB ∽ △PCA，于是 PA/PC = PB/PA，即 PA² = PB·PC。
④ 切线长：Rt△OAP 与 Rt△OBP 中，OA = OB 都是半径、OP 公共，斜边直角边对应相等（HL），两三角形全等，所以 PA = PB，且 OP 平分两切线的夹角。
大题里别直接写结论——四条定理都要推一遍——前三走「圆周角/弦切角 → 相似 → 比例式」，切线长用 HL，这是圆综题的标配得分点。
圆外（或圆内）一个定点 P，到圆上动点 A 的距离什么时候最大、最小？把 OA = r 当成三角形的一条边，两边之差小于第三边，答案就出来了。
点圆最值：圆外 PO − r ≤ PA ≤ PO + r；圆内 r − PO ≤ PA ≤ r + PO，最值点都在直线 PO 上
母题：圆的半径 5，圆外一点 P 满足 PO = 13，P 到圆上点的最近与最远距离各是多少？
还有一类题通篇不说圆，但动点其实被一个圆管着——看轨迹：
辅助圆：到定点距离为定长的轨迹是圆；对定弦张定角的轨迹是圆弧
母题：线段 AB = 6，动点 C 满足 ∠ACB = 90°，C 的轨迹是什么？
内切圆半径有两个算法：通用式 S = ½·(a+b+c)·r（面积 = 半周长 × 内切圆半径），以及直角三角形的简式。
简式怎么推的：直角三角形面积 S = ab/2，代入通用式得 r = ab/(a+b+c)；而 (a+b−c)(a+b+c) = (a+b)² − c² = 2ab（勾股定理），约一下就是 r = (a+b−c)/2。
例题：Rt△ABC 中 ∠C = 90°，内切圆 O 与 AC、BC、AB 分别切于 D、E、F，已知 BF = 3、AF = 10，求 △ABC 的面积。
托勒密定理：圆内接四边形 AC·BD = AB·CD + AD·BC；取 E 造两组相似相加即得
圆内接四边形有一条很漂亮的等式：对角线积 = 两组对边积之和。
母题：等边三角形 ABC 外接圆上一点 P 在弧 BC 上，求证 PA = PB + PC。
阿氏圆：先画关键直线 AB，按 k 取内分点 C、外分点 D，以 CD 为直径作圆；k>1 时 B 在圆内、k<1 时 A 在圆内
到两个定点距离之比为定值的点，轨迹是一个圆——阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆。
母题：A(0, 0)、B(6, 0)，动点 P 满足 PA = 2PB，求 P 的轨迹。
例题（阿氏圆最值）：⊙O 的半径为 2，点 A(5, 0)、B(0, 4)，P 是 ⊙O 上一动点，求 PA + ½ PB 的最小值。
把「定弦定角」推到极端：直线 l 同侧有 A、B 两点，动点 P 在 l 上，P 在何处时 ∠APB 最大？
米勒圆：过 A、B 且与直线 l 相切的圆，切点 P 即最大视角点；圆与 l 相交时得到两个点、角都更小
∠APB 等于定值时，P 的轨迹是一段圆弧（同弧所对圆周角相等）。要让这个角最大，就把圆弧所在的圆整体推大，直到与直线 l 相切——切点就是答案。
母题：直线 l 同侧有两点 A、B，动点 P 在直线 l 上，P 在何处时 ∠APB 最大？
母题一 判定相切
圆心到直线距离 d = 5，圆半径 r = 5，判断位置关系。
母题二 切线垂直半径
PA 切圆 O 于 A，OA = 3，OP = 5，求 PA。
母题三 切线长定理
PA、PB 是圆 O 的两条切线，PA = 7，求 PB。
母题四 内切圆半径
直角三角形两直角边 3、4，斜边 5，求内切圆半径。
母题五 圆幂·切割线
PA 切圆 O 于 A，割线 PBC 交圆于 B、C，PA = 6、PB = 4，求 PC。
母题六 点圆最值
圆半径 5，圆外一点 P，PO = 13，求 P 到圆上点的最近与最远距离。
母题七 定弦定角
线段 AB = 6，动点 C 满足 ∠ACB = 90°，C 的轨迹是什么？
母题八 托勒密
等边三角形 ABC 外接圆上一点 P 在弧 BC 上，求证 PA = PB + PC。
母题九 阿氏圆最值（压轴）
正方形 ABCD 边长为 4，⊙A 的半径为 2（P 在 ⊙A 上运动），求 PC + ½ PD 的最小值。
阿氏圆最值：正方形 ABCD 中 P 在 ⊙A 上，取 E 使 △AEP∽△APD，把 ½ PD 转成 PE，最小值 = CE = 5
母题十 内切圆求面积
Rt△ABC 中 ∠C = 90°，内切圆切 AB 于 F，BF = 3、AF = 10，求 △ABC 的面积。
母题十一 米勒圆（最大视角）
直线 l 同侧有两点 A、B，动点 P 在直线 l 上。P 在何处时，∠APB 最大？
练习1：d = 6，r = 4，直线与圆什么关系？
练习2：PA 切圆于 A，OA = 5，OP = 13，求 PA。
练习3：PA、PB 是切线，PA = 8，PB 多长？
练习4：直角三角形 6、8、10，内切圆半径？
练习5：圆内两弦交于 P，PA = 3、PB = 4、PC = 2，求 PD。
练习6：圆半径 5，圆内一点 P 满足 PO = 3，P 到圆上点最远多远？
练习7：圆内接四边形，AB·CD + AD·BC = 30，AC = 5，求 BD。
练习8：A(0, 0)、B(4, 0)，动点 P 满足 PA : PB = 3 : 1，求轨迹的圆心与半径。
练习9：Rt△ABC 中 ∠C = 90°，内切圆切斜边于 F，BF = 5、AF = 12，求两直角边。
练习10：⊙O 半径 2，A(5, 0)、B(0, 4)，P 在 ⊙O 上，求 PA + ½ PB 的最小值。
练习11：直线 l 同侧有 A、B 两点，P 在 l 上移动。要使 ∠APB 最大，P 应取在何处？
练习答案
这一讲一句话：比 d 与 r 定位置，切线记"垂直半径 + 切线长相等"，圆幂三定理一套相似全通吃，最值、轨迹、最大视角都有圆兜底——下一讲讲弧长、扇形面积与圆锥。
