苏教版七年级数学下册知识点总结(苏科版)

苏教版七年级数学下册

(义务教育教科书)

第7章 平面图形的认识(二)

7.1 探索垂线平行的条件

7.2 探索平行线的性质

怎样证实“两直线平行，同位角相等”

7.3 图形的平移

7.4 认识三角形

三角形的中线和角平分线

7.5 多边形的内角与外角和

n多边形的内角和等于(n-2)·180°

n多边形的外角和等于360°

数学活动 利用平移设计图案

第8章 幂的运算

8.1 同底数幂的乘法

8.2 幂的乘方与积的乘方

8.3 同底数幂的除法(底数不变,指数相减)

任何不等于0的数的0次幂等于1

数学活动 生活中的较大数与较小数

第9章 整式乘法与因式分解

9.1 单项式乘单项式

9.2 单项式乘多项式

9.3 多项式乘多项式

9.4 乘法公式(完全平方公式)

平方差公式

9.5 多项式的因式分解

数学活动 拼图公式

第10章 二元一次方程组

10.1 二元一次方程

10.2 二元一次方程组

10.3 解二元一次方程组

10.4 三元一次方程组

10.5 用二元一次方程组解决问题

数学活动 算年龄

第11章 一元一次不等式

11.1 生活中的不等式

11.2 不等式的解集

11.3 不等式的性质

11.4 解一元一次不等式

11.5 用一元一次不等式解决问题

11.6 一元一次不等式组

数学活动 一元一次不等式问题的调查

第12章 证明

12.1 定义与命题

真命题和假命题

12.2 证明

12.3 互逆命题

数学活动 由已知探索未知

课题学习 分类 想象 找规律

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知识点总结

第七章 平面图形的认识（二）

一、知识点：

1、“三线八角”

①如何由线找角：一看线，二看型。

同位角是“F”型；

内错角是“Z”型；

同旁内角是“U”型。

②如何由角找线：组成角的三条线中的公共直线就是截线。

2、平行公理：

如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也平行。

简述：平行于同一条直线的两条直线平行。

补充定理：

如果两条直线都和第三条直线垂直，那么这两条直线也平行。

简述：垂直于同一条直线的两条直线平行。

3、平行线的判定和性质：

4、图形平移的性质：

图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一直线上）并且相等。

5、三角形三边之间的关系：

三角形的任意两边之和大于第三边；三角形的任意两边之差小于第三边。

若三角形的三边分别为a、b、c，则|a-b|<c<a+b

6、三角形中的主要线段：三角形的高、角平分线、中线。

注意：①三角形的高、角平分线、中线都是线段。

②高、角平分线、中线的应用。

7、三角形的内角和：

三角形的3个内角的和等于180°；

直角三角形的两个锐角互余；

三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。

8、多边形的内角和：

n边形的内角和等于（n-2）•180°；任意多边形的外角和等于360°。

第八章 幂的运算

幂（power）指乘方运算的结果。aⁿ指将a自乘n次(n个a相乘）。把aⁿ看作乘方的结果，叫做a的n次幂。

对于任意底数a,b，当ｍ，ｎ为正整数时，有:

a^ｍ•aⁿ=a^m+n  (同底数幂相乘,底数不变,指数相加)

a^ｍ÷aⁿ=a^m-n  (同底数幂相除,底数不变,指数相减)

(a^ｍ)ⁿ=a^mn  (幂的乘方,底数不变,指数相乘)

(ab)ⁿ=aⁿaⁿ  (积的乘方,把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘)

a⁰=1(a≠0) (任何不等于0的数的0次幂等于1)

a^-n=1/aⁿ (a≠0)(任何不等于0 的数的-n次幂等于这个数的n次幂的倒数)

科学记数法:

把一个绝对值大于10(或者小于1)的整数记为a×10ⁿ的形式(其中1≤|a|＜10),这种记数法叫做科学记数法.

复习知识点：

1.乘方的概念:

求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂。在aⁿ中，a 叫做底数，n 叫做指数。

2.乘方的性质:

★（1）负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂的正数。

★（2）正数的任何次幂都是正数，0的任何正整数次幂都是0。

第九章 整式的乘法与因式分解

一、整式乘除法

单项式乘以单项式:

把它们的系数,相同字母分别相乘,对于只在一个单项式里含有的字母,则连同它的指数作为积的一个因式.ac⁵·bc²=(a·b)·(c⁵·c²)=abc⁵⁺²=abc⁷  

★注：运算顺序先乘方，后乘除，最后加减

单项式除以单项式:

把系数与同底数幂分别相除作为商的因式,只在被除式里含有的字母,则连同它的指数作为商的一个因式。

单项式乘以多项式:

就是用单项式去乘多项式的每一项,再把所得的积相加,m(a+b+c)=ma+mb+mc

★注：不重不漏，按照顺序，注意常数项、负号 .本质是乘法分配律。

多项式除以单项式：   

先把这个多项式的每一项除以这个单项式,再把所得的商相加.

多项式乘以多项式：先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项,再把所得的积相乘(a+b)(m+n)=am+an+bm+bn

乘法公式：

平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差. (a+b)(a-b)=a²-b²

完全平方公式:两数和[或差]的平方,等于它们的平方和,加[或减]它们积的2倍.

       (a+b)²=a²+2ab+b²           (a-b)²=a²-2ab+b²

因式分解：把一个多项式化成几个整式积的形式,也叫做把这个多项式分解因式.
因式分解方法:

1、提公因式法.     关键:找出公因式

公因式三部分：

①系数(数字)一各项系数最大公约数；

②字母--各项含有的相同字母；

③指数--相同字母的最低次数；步骤：第一步是找出公因式；第二步是提取公因式并确定另一因式．需注意，提取完公因式后，另一个因式的项数与原多项式的项数一致，这一点可用来检验是否漏项．

注意：①提取公因式后各因式应该是最简形式，即分解到“底”；

②如果多项式的第一项的系数是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的．

2、公式法：①a²-b²=(a+b)(a-b)两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积a、b可以是数也可是式子②a²±2ab+b²=(a±b)² 完全平方两个数平方和加上或减去这两个数的积的2倍,等于这两个数的和[或差]的平方.

③x³-y³=(x-y)(x²+xy+y²) 立方差公式

3、十字相乘：(x+a)(x+b)=x²+(a+b)x+ab

因式分解三要素：

（1）分解对象是多项式，分解结果必须是积的形式，且积的因式必须是整式

（2）因式分解必须是恒等变形；

（3）因式分解必须分解到每个因式都不能分解为止．

弄清因式分解与整式乘法的内在的关系:互逆变形;

因式分解是把和差化为积的形式，而整式乘法是把积化为和差

添括号法则：如括号前面是正号，括到括号里的各项都不变号，如括号前是负号各项都得改符号。用去括号法则验证

第十章 二元一次方程组

1.含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程。

2.含有两个未知数的两个一次方程所组成的方程组叫做二元一次方程组。

3.二元一次方程组中两个方程的公共解叫做二元一次方程组的解。

4.代入消元法：把二元一次方程中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再带入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

5.加减消元法：当方程中两个方程的某一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边相加或相减来消去这个未知数，从而将二元一次方程化为一元一次方程，最后求得方程组的解，这种解方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法.

6.二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：

（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；

（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；

（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；

（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；

（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案.

第十一章 一元一次不等式

一元一次不等式

重点：不等式的性质和一元一次不等式的解法。

难点：一元一次不等式的解法和一元一次不等式解决在现实情景下的实际问题。

知识点一：不等式的概念1. 不等式：

用“＜”(或“≤”)，“＞”(或“≥”)等不等号表示大小关系的式子，叫做不等式.用“≠”表示不等关系的式子也是不等式.

要点诠释：

(1)不等号的类型:

“≠”读作“不等于”，它说明两个量之间的关系是不等的，但不能明确两个量谁大谁小；

(2) 要正确用不等式表示两个量的不等关系，就要正确理解“非负数”、“非正数”、“不大于”、“不小于”等数学术语的含义。

2．不等式的解：能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
要点诠释：

由不等式的解的定义可以知道，当对不等式中的未知数取一个数，若该数使不等式成立，则这个数就是不等式的一个解，我们可以和方程的解进行对比理解，一般地，要判断一个数是否为不等式的解，可将此数代入不等式的左边和右边利用不等式的概念进行判断。

3．不等式的解集：

一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。求不等式的解集的过程叫做解不等式。如：不等式x－4＜1的解集是x＜5. 不等式的解集与不等式的解的区别:解集是能使不等式成立的未知数的取值范围,是所有解的集合,而不等式的解是使不等式成立的未知数的值.二者的关系是:解集包括解,所有的解组成了解集。
要点诠释：

不等式的解集必须符合两个条件：

(1)解集中的每一个数值都能使不等式成立；

(2)能够使不等式成立的所有的数值都在解集中。

知识点二：不等式的基本性质

基本性质1：不等式的两边都加上(或减去)同一个整式，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，那么。

基本性质2：不等式的两边都乘上(或除以)同一个正数，不等号的方向不变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

基本性质3：不等式的两边都乘上(或除以)同一个负数，不等号的方向改变。

符号语言表示为：如果，并且，那么（或）。

要点诠释：

(1)不等式的基本性质1的学习与等式的性质的学习类似，可对比等式的性质掌握；

(2)要理解不等式的基本性质1中的“同一个整式”的含义不仅包括相同的数，还有相同的单项式或多项式；

(3)“不等号的方向不变”，指的是如果原来是“＞”，那么变化后仍是“＞”；如果原来是“≤”，那么变化后仍是“≤”；“不等号的方向改变”指的是如果原来是“＞”，那么变化后将成为“＜”；如果原来是“≤”，那么变化后将成为“≥”；

(4)运用不等式的性质对不等式进行变形时，要特别注意性质3，在乘(除)同一个数时，必须先弄清这个数是正数还是负数，如果是负数，要记住不等号的方向一定要改变。

知识点三：一元一次不等式的概念

　　只含有一个未知数，且含未知数的式子都是整式，未知数的次数是1，系数不为0.这样的不等式，叫做一元一次不等式。

要点诠释：

(1)一元一次不等式的概念可以从以下几方面理解：　　　

左右两边都是整式(单项式或多项式)；

含有一个未知数；

未知数的最高次数为1。

(2)一元一次不等式和一元一次方程可以对比理解。

相同点：二者都是只含有一个未知数，未知数的最高次数都是1，左右两边都是整式；不同点：一元一次不等式表示不等关系(用“＞”、“＜”、“≥”、“≤”连接)，一元一次方程表示相等关系(用“＝”连接)。

知识点四：一元一次不等式的解法

1.解不等式：求不等式解的过程叫做解不等式。

2.一元一次不等式的解法：

与一元一次方程的解法类似，其根据是不等式的基本性质，解一元一次不等式的一般步骤为：(1)去分母；(2)去括号；(3)移项；(4)合并同类项；(5)系数化为1.

要点诠释：

（1）在解一元一次不等式时，每个步骤并不一定都要用到，可根据具体问题灵活运用

（2）解不等式应注意：

①去分母时，每一项都要乘同一个数，尤其不要漏乘常数项；

③项时不要忘记变号；

④括号时，若括号前面是负号，括号里的每一项都要变号；

⑤④在不等式两边都乘(或除以)同一个负数时，不等号的方向要改变。

2.不等式的解集在数轴上表示：

在数轴上可以直观地把不等式的解集表示出来，能形象地说明不等式有无限多个解，它对以后正确确定一元一次不等式组的解集有很大帮助。

要点诠释：在用数轴表示不等式的解集时，要确定边界和方向：

　（1）边界：有等号的是实心圆圈，无等号的是空心圆圈；

（2）方向：大向右，小向左
规律方法指导（包括对本部分主要题型、思想、方法的总结）

　1、不等式的基本性质是解不等式的主要依据。（性质2、3要倍加小心）

　2、检验一个数值是不是已知不等式的解，只要把这个数代入不等式，然后判断不等式是否成立，若成立，就是不等式的解；若不成立，则就不是不等式的解。

　3、解一元一次不等式是一个有目的、有根据、有步骤的不等式变形，最终目的是将原不等式变为或的形式，其一般步骤是：

（1）去分母；

（2）去括号；

（3）移项；

（4）合并同类项；

（5）化未知数的系数为1。

这五个步骤根据具体题目，适当选用，合理安排顺序。但要注意，去分母或化未知数的系数为1时，在不等式两边同乘以（或除以）同一个非零数时，如果是个正数，不等号方向不变，如果是个负数，不等号方向改变。

解一元一次不等式的一般步骤及注意事项

4、将一元一次不等式的解集在数轴上表示出来，是数学中数形结合思想的重要体现，要注意的是“三定”：一是定边界点，二是定方向，三是定空实。

5、用一元一次不等式解答实际问题，关键在于寻找问题中的不等关系，从而列出不等式并求出不等式的解集，最后解决实际问题。

6、常见不等式的基本语言的意义：

第十二章 证明

1.掌握定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念，知道一个命题是真命 题，它的逆命题不一定是真命题。          

2.基本事实是其真实性不加证明的真命题，弄清真命题与定理的区别。           

3.会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。 

重点：定义、命题、定理、逆命题、互逆命题等概念的理解与运用 

难点：会用举反例说明一个命题是假命题；掌握三角形内角和定理的证明。

内容：       

1.以基本事实：“同位角相等，两直线平行”证明： (1)“内错角相等，两直线平行”、“同旁内角互补，两直线平行”、“平行于同一条直线的两条直线平行”

2.基本事实：“过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行”             “两直线平行，同位角相等”

证明：

（1）两直线相平行，内错角相等

（2）两直线相平行，同旁内角互补

（3）三角形内角和定理”

（4）直角三角形的两个锐角互余

（5）有两个锐角互余的三角形是直角三角形

（6）三角形的外角等于与它不相邻的两个外角的和

复习提纲

第七章平面图形的认识（二）

一、三线八角（同位角，内错角， 同旁内角）

1、平行线判定：

（1）同位角相等两直线平行

（2）内错角相等两直线平行

（3）同旁内角互补两直线平行

2、平行线性质：

（4）两直线平行同位角相等

（5）两直线平行内错角相等

（6）两直线平行同旁内角互补

（7）两直线平行同旁内角互补

二、平移：

1、定义：在平面内，将某个图形沿某个方向移动一定距离

2、性质特征：（1）图形平移前后的形状和大小没有变化，只是位置发生变化;

（2）图形平移后，对应点连成的线段平行且相等（或在同一直线上）

（3）多次平移相当于一次平移。

（4）多次对称后的图形等于平移后的图形。

（5）平移是由方向，距离决定的。

（6）经过平移，对应线段平行（或共线）且相等，对应角相等，对应点所连接的线段平行且相等。

三、三角形：

1、三角形概念

⑴、不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形，称为三角形，可以用符号“Δ”表示.

⑵、顶点是A、B、C的三角形，记作“ΔABC”，读作“三角形ABC”.

⑶、组成三角形的三条线段叫做三角形的边，即边AB、BC、AC，有时也用a，b，c来表示，顶点A所对的边BC用a表示，边AC、AB分别用b，c来表示；

⑷、∠A、∠B、∠C为ΔABC的三个内角.

 ⑸任意一个三角形都具备六个元素，即三条边和三个内角

2、三角形中三边的关系

⑴、三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.

用字母可表示为：

a+b>c,a+c>b,b+c>a；

a-b<c,a-c<b,b-c<a.

⑵、判断三条线段a,b,c能否组成三角形：

①当a+b>c,a+c>b,b+c>a同时成立时，能组成三角形；

②当两条较短线段之和大于最长线段时，则可以组成三角形.

⑶、确定第三边（未知边）的取值范围时，它的取值范围为大于两边的差而小于两边的和，即.

3、三角形中三角的关系

1、三角形内角和定理：三角形的三个内角的和等于180⁰.（包含一个等式）

注：⑴三角形的外角和是360°

⑵三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和（三角形一个外角大于任何一个与它不相邻的内角）

(3)在三角形中至少有一个角大于等于60度，也至少有一个角小于等于60度。一个三角形的3个内角中最少有2个锐角

2、三角形按内角的大小可分为三类：（依据三角形中最大角的度数.）

（1）锐角三角形，即三角形的三个内角都是锐角的三角形；

（2）直角三角形，即有一个内角是直角的三角形，我们通常用“RtΔ”表示“直角三角形”,其中直角∠C所对的边AB称为直角三角表的斜边，夹直角的两边称为直角三角形的直角边.

注：直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余.直角三角形的面积等于两直角边乘积的一半

（3）钝角三角形，即有一个内角是钝角的三角形.

4、三角形的三条重要线段

注：⑴等腰三角形的顶角平分线，底边的中线，底边的高重合，即三线合一

⑵等底等高的三角形面积相等.因此三角形的任意一条中线将这个三角形分为两个面积相等的三角形。

⑶三角形具有稳定性。

四、多边形

1、多边形可以分为正多边形和非正多边形、凸多边形及凹多边形等。

２、n边形内角和为（n-2）×180°

３、任意多边形的外角和为360°，注：多边形的外角和并不是所有外角的和。

４、正n边形的一个外角为360°/n，

多边形每一顶点处有两个外角，这两个角是对顶角，n边形就有2n个外角。

５、n边形具有不稳定性（n>3）

第八章  幂的运算

1.同底数幂的乘法法则:同底数幂相乘，底数不变，指数相加

(m,n都是正整数)

2.. 幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘

( m,n都是正整数) 

3.同底数幂的除法法则:同底数幂相除,底数不变,指数相减,

(a≠0, m,n都是正整数,且m>n).

在应用时需要注意以下几点:

①法则使用的前提条件是“同底数幂相除”而且0不能做除数,所以法则中a≠0.

②任何不等于0的数的0次幂等于1,即a⁰=1（a≠0），如10⁰=1,(-2.5⁰=1),则0⁰无意义.

③任何不等于0的数的-p次幂(p是正整数),等于这个数的p的次幂的倒数,即( a≠0,p是正整数), 而0^-1,0^-3都是无意义的;当a>0时,a^-p的值一定是正的; 当a<0时,a^-p的值可能是正也可能是负的,如,

4.积的乘方法则：把积的每一个因式乘方,再把所得的幂相乘

             (ɑb)ⁿ=ɑⁿɑⁿ (m,n都是正数)

第九章  整式乘法与因式分解

一、概念

１、单项式乘单项式、单项式乘多项式、多项式乘多项式

二、乘法公式

完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b²

平方差公式：(a+b)(a-b)=a²-b²  注意：符号相同的为a，符号相反的为b

三、分解因式：加减转换为乘积

（一）因式分解的注意事项：

１、一定要分到不能分为止；

２、因式分解各项钧只能用小括号连接；

３、因式分解每一项的首项系数为正；

４、因式分解结果中单项式写在多项式之前；

５、分解结果中有同类项的注意合并同类项。

（二）、因式分解方法：应先提公因式，再应用公式法

（1）提公因式法(注：提出“-”号时，多项式的各项都要变号。)

（2）公式法： 能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式，其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍。

⑶ 十字相乘法：一般为二次三项式，

三. 整式的乘法：因式分解和整式乘法是互逆的两种运算。乘积转换为加减

第十章二元一次方程组

1、二元一次方程的变形：用一个未知数表示另一个未知数

2、二元一次方程的定义：含有两个未知数，且含有未知数的项的次数为1的整式方程叫二元一次方程。

（注：①方程中有且只有两个未知数。②方程中含有未知数的项的次数为1。③方程为整式方程。）

3、二元一次方程组的定义：由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组:

4、二元一次方程的解的定义：使二元一次方程左右两边的值相等的未知数的值叫做二元一次方程的解。方程组的解的定义：方程组中所有方程的公共解叫方程组的解。

5、二元一次方程组的解法

 代入消元法、加减消元法

代入消元：将一个未知数用含有另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解，这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

加减消元法：当两个方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

6、二元一次方程组的应用

对于含有多个未知数的问题，利用列方程组来解，一般比列一元一次方程解题容易得多．列方程组解应用问题有以下几个步骤：可概括为（审、设、列、解、验、答6步）

第十一章一元一次不等式

一、不等式的性质： 

1、不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号方向不变 

2、不等式两边同时乘或除以同一个正数，不等号方向不变 

3、不等式两边同时乘或除以同一个负数，不等号方向改变  

二、列一元一次不等式（组）解决实际问题的一般步骤：

审：分析题意，弄清题目中的相等关系和不等关系；

设：用字母（如x）表示题目中的未知数；

列：根据数量关系列出不等式（组）；

解：解不等式（组），求出未知数的取值范围；

答：检验所求出的解或解集是否符合题意，写出答案。

第十二章  证明

一、概念

根据已知的真命题,确定这个命题真实性的过程叫做证明.经过证明的真命题叫做定理。

二、互逆命题和逆命题

   在两个命题中,如果第一个命题的条件是第二个命题的结论,而第一个命题的结论又是第二个命题的条件,那么这两个命题叫做互逆命题.其中一个命题是另一个命题的逆命题.

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